در سال 1990، وینستین و کرانت ساختارهای دیراک را به منظور یکی کردن منیفلدهای پواسن و منیفلدهای پیش همتافته معرفی نمودند. یپی ساختارهای مختلط تعمیم یافته توسط هیتچین مطرح شدند و جوالتری در رساله دکتری خود به استفاده از آن در جهت یکی کردن هندسه و همتافته هندسه مختلط پرداخت. در این پایان نامه ساختارهای مختلط قانونمند روی کلاف مماس تعمیم یافته tm t*m از منیفلد هموار m و رابطه آن با متر ریمانی m را بیان می نماییم. همچنین به بیان شرایط انتگرال پذیری از ساختارهای مختلط خواهیم پرداخت. بعدا نشان می دهیم که شرایط انتگرال پذیری از ساختارهای مختلط قانونمند در رابطه ای نزدیک با وجود تانسور کدازی روی m قرار دارن و خواهیم دید که اگر l1 و l2 دو زیر کلاف لاکرانژ وابسته به ساختار مختلط قانونمند j باشند، آنگاه j انتگرال پذیر است اگر و تنها اگر l1 و l2 جبر گونه های لی باشند. سر انجام مثال هایی از این ساختار را در مورد r و زیر منیفلدهای دلخواهی از یک منیفلد بیان می نماییم.

مطالعه ی خواص هندسی فضاهای همگن و گروه های لی یکی از زمینه های تحقیقاتی پرجاذبه در هندسه ی دیفرانسیل است که از جمله ی این خواص می توان به مطالعه ی ژئودزی های همگن, ساختارهای مختلط و اتصالی پایا, سولیتن ریچی پایا و غیره اشاره نمود که دارای کاربردهای متعددی در فیزیک و مکانیک هستند. از این رو در این رساله ابتدا یک کلاس از گروه های لی حل پذیر ‎$m^{2n+1}$‎ را در نظر می گیریم که در سال ‎1980‎ توسط ‎ بزک ‎ ‎‎‏‎footnote{bozek{ مطرح شده اند و شکل دقیقی از همه ی ساختارهای همگن و نوع آن ها را در دو حالت ریمان و لوران بر روی این فضاها بیان می کنیم. سپس به بررسی تابع انرژی یک میدان برداری دلخواه پایای چپ از این فضاها می پردازیم و در حالت لوران ثابت می کنیم که هیچ کدام از میدان های برداری زمان گون بر روی این فضاها نقطه ی بحرانی برای تابع انرژی فضاگون نیستند. هم چنین شکل دقیقی از ابررویه های کاملاً ژئودزی, توازی پذیر و نیمه توازی پذیر را روی این فضاها معرفی کرده و ثابت می کنیم که روی این فضاها ساختارهای اتصالی پایا, سولیتن یامابی و سولیتن ریچی پایای چپ وجود ندارند. در ادامه با توجه به اهمیت مترهای فینسلر و به طور خاص مترهای رندرز در فیزیک, فضاهای همگن را در نظر می گیریم که به مترهای رندرز مجهز شده اند و به معرفی و رده بندی یک ساختار هندسی روی گروه های لی می پردازیم که به یک متر رندرز از نوع بروالد مجهز شده اند. سرانجام با استفاده از مطالعه ی ویژگی های هندسی این فضاها یک قضیه برای فضاهای همگن رندرز تحویل پذیر را بهبود داده و دو نتیجه برای مترهای رندرز از نوع داگلاس بر روی این فضاها را تعمیم می دهیم.