بررسی طیف گراف ها، ابزاری جهت بررسی گراف ها از دیدگاه جبری است. گراف های ds گراف هایی هستند که هیچ گراف غیر یکریخت دارای طیف ماتریس مجاورت یکسان با آنها نباشد. در این پایان نامه به بررسی خانواده گراف های و پرداخته و تحقیق می کنیم که آیا این گراف ها ds هستند یا خیر. در ضمن طیف ماتریس لاپلاسین گراف ها را تعریف و یکتایی گراف ها را تحت طیف ماتریس لاپلاسین بررسی می کنیم و نشان می دهیم که گراف و چه موقع تحت طیف ماتریس لاپلاسین به طور یکتا مشخص می شوند. مقالات مورد بررسی در این پایان نامه شامل مقالاتی می باشند که به بررسی ویژگی های طیفی گراف های مربعی [spectral characterization of some cubic graph, 2012] و گراف هایی که با طیف شان مشخص می شوند [some graphs determined by their spectra, xiaoling zhang, heping zhang, 2009] می پردازند.

برای مجموعه مرتب شده ‎$ w =‎ ‎‎lbrace ‎w‎_{1}, ‎w‎_{2},...,w‎_{k}‎‎‎ ‎ brace‎ $‎‏ از رئوس و رأس ‎$ ‎v‎ $‎‏ در گراف همبند ‎$ ‎g‎ $‎‏‏، نمایش ‎$ ‎v‎ $‎‏ نسبت به ‎$ ‎w‎ $‎‏‏، بردار ‎$ ‎k‎ $‎‏-تایی ‎egin{center} ‎$ c‎_{w} =‎ ‎(d(v,w‎_{1}), ‎d(v,w‎_{2}),.., ‎d(v,w‎_{k}) ‎)‎ $‎ end{center}‎‎‏‎ است که ‎$ ‎d(x,y)‎ $‎‏ نمایش فاصله بین دو رأس ‎$ ‎x,y‎ $‎‏ است. مجموعه ‎$ ‎w‎ $‎‏ جداکننده ای برای ‎$ ‎g‎ $‎‏ است هرگاه رئوس متمایز ‎$ ‎g‎ $‎‏‏، دارای نمایش های متمایزی نسبت به ‎$ ‎w‎ $‎‏ باشند. مینیمم اندازه یک مجموعه جداکننده ‎$ ‎g‎ $‎‏، بعد متریک‏ آن ارائه شده است. همچنین بعد متریک خانواده های کلاسیک از گراف ها بررسی شده است. ‎‎‏‎ خانواده هایی از گراف ها که دارای مرتبه ‎$ ‎n‎ $‎‏ هستند و بعد متریک آن ها 1‏، ‎$ ‎n-1‎ $‎‏ یا ‎$ ‎n-2‎ $‎‏ است مشخص شده است و فرمولی برای محاسبه بعد متریک درخت ارائه شده است. همچنین بعد متریک حاصل ضرب دکارتی ‎$ g‎ ‎‎square ‎h‎ $‎‏ و حاصل ضرب تاجی ‎$ g‎ ‎‎odot ‎h‎ $‎‏ بررسی شده است.

فرض کنید g=(v,e) یک گراف همبند غیرجهتدار و c?v یک زیرمجموعه از رئوس باشد. اگر به ازای هر رأس v?v، مجموعه¬های n_g [v]?c غیرتهی و متفاوت باشند، آنگاه c را یک کدشناساگر می نامیم. در ادامه ویژگی های اساسی کدهای شناساگر را بررسی خواهیم کرد، یک کران بالا برای کدشناساگر مینیمم ارائه خواهیم داد و گراف هایی که این کران را بدست می دهند، بررسی خواهیم کرد. همچنین سیستم های نظاره گر در گراف را معرفی می کنیم، که یک توسیع از کدهای شناساگر است. مجموعه متناهی x را در نظر بگیرید، فرض کنید s یک خانواده از زیرمجموعه های x باشد و همچنین فرض کنید مجموعه ی معین s?x عضوی از s باشد. برای x?x، s-مجموعه شناساگر یا s-برچسب را به صورت زیر تعریف می¬کنیم: l_s (x)={s?s?x?s}s را یک سیستم شناساگر می¬نامیم هرگاه به ازای هر x?x، l_s (x) ها غیرتهی و دوبه¬دو مجزا باشند. گراف g=(v,e) را در نظر بگیرید. مجموعه متناهی w={w_1,w_2,…,w_k }، مجموعه¬ای از دوتایی های w_i=(v_i,z_i) است به گونه¬ای که v_i یک رأس و z_i?n_g [v_i] است. w را یک سیستم نظاره¬گر در g گوییم، اگر {z_1,z_2,…,z_k } یک سیستم شناساگر باشد. همچنین در ادامه ویژگی های اساسی سیستم¬های نظاره گر را بررسی خواهیم کرد، یک کران بالا برای سیستم نظاره گر مینیمم ارائه خواهیم داد و گراف هایی که این کران را بدست می دهند، بررسی خواهیم کرد.