در این پایان نامه یک شرط لازم و کافی برای این که گراف کیلی و مکمل ان رامانوجان شود ارائه می کنیم .همچنین انرژی گراف یالی از گراف کیلی را بررسی می کنیم.

کدهای خلوت دسته ای از کدهای بلوکی خطی هستند که علی رغم داشتن یک ساختار ساده‏، عملکردی نزدیک به نرخ شانون دارند. ‏اخیراً کدهای خلوت شبه دوری‎‏،‎‎ به عنوان دسته ای خاص از کدهای خلوت‎‏، به علت سهولت در پیاده سازی و هم چنین عملکرد عالی روی کانال های نویزدار‏، پرکاربردترین دسته از کدهای خطی محسوب می شوند و بدین ترتیب توجه زیادی را به خود جلب کرده اند. هر کد خلوت را می توان با یک گراف دوبخشی به نام گراف تنر نمایش داد و طول کوتاهترین دور در این گراف را کمر کد گوییم. یکی از پارامترهای مهی که برای طراحی یک کد خلوت در نظر گرفته می شود‏، کمر کد است زیرا هرچه کمر کد بیشتر باشد‏، کدگشایی کد راحت تر انجام می شود. در واقع وجود دورهای کوتاه در گراف تنر یک کد‏، عملکرد الگوریتم کدگشایی را پایین می آورد و بنابراین به دنبال کدهایی با کمر بالا هستیم. از دیگر پارامترهای مهم برای طراحی یک کد‏، پیچیدگی الگوریتم کدگذاری است. پیچیدگی ساختارهای قطعی و صریح نسبت به ساختارهای تصادفی کمتر است و کدهای ساختاری با طول متوسط بهتر از کدهای تصادفی هم ارزشان عمل می کنند. در این پایان نامه ساختارهای قطعی و صریحی را برای تولید کدهای خلوت شبه دوری در قالب چهار فصل ارائه کرده ایم به طوری که گراف تنر متناظر با این کدها فاقد دورهایی با طول کوتاه می باشند. ابتدا در فصل اول مقدماتی از کدهای خلوت و تعاریف اولیه ای که در فصول بعد مورد نیاز هستند را مطرح می کنیم. فصل دوم مشتمل بر سه بخش است. در بخش اول یک ساختار قطعی برای تولید کدهای خلوت شبه دوری (j,l) با کمر 8 و وزن ستونی دلخواه j ارائه می شود. در واقع در این روش با یافتن j عدد صحیح، یک ماتریس نمایی j*l را می سازیم که متناظر با کدهای خلوت شبه دوری با کمر 8 می باشند. در بخش دوم سه ساختار صریح برای تولید کدهای خلوت شبه دوری با کمر 8 معرفی شده اند و با یک روش ساده کران پایین متناظر با این کدها محاسبه شده است. در بخش سوم کدهای خلوت شبه دوری (j,l) به ازای j=5 و j=6 ساخته می شوند به طوری که به ترتیب به ازای هر اندازه بلوکی بزرگتر از (2l+3)(l-1) و 2(l+5)(l-1) کدهای خلوت شبه دوری (5,l) و (6,l) با کمر 8 وجود دارند. علاوه بر این، یک ساختار جالب برای کدهای خلوت شبه دوری (j,l) به ازای هر j و l پیشنهاد می شود. فصل سوم مشتمل بر دو بخش است. در بخش اول یک ساختار بازگشتی برای ماتریس های نمایی‎ با وزن ستونی دلخواه j‎‏ و وزن سطری دلخواه ‎‎l متناظر با کدهای خلوت شبه دوری با کمر 6 معرفی می شود که نسبت به کدهای ساخته شده با روش های قبلی از کران پایین کوچکتری برخوردارند. در بخش دوم یک حالت خاص از این ساختار بررسی شده است و به ساختاری کمی متفاوت به ازای ‎‎j=3 رسیده ایم. ‎ ‎در فصل چهارم با دسته ای خاص از ‎کدهای خلوت شبه دوری تحت عنوان کدهای خلوت بلوکی گردشی با ساختار استوانه ای‎‎ آشنا می شویم و نشان می دهیم که بسته به وزن ستونی ماتریس بررسی توازن شان‏، دارای کمری متفاوت خواهند بود. متناظر با هر کد خلوت بلوکی گردشی با ساختار استوانه ای‏، یک گراف بلوکی ساختاری‎‎ تعریف می شود و با استفاده از خواص این گراف نشان می دهیم که اگر وزن ستونی ماتریس بررسی توازن این کدها‏، 2 باشد‏، کمر آن ها‏، مضربی از 8 است و اگر وزن ستونی حداقل 3 باشد آن گاه کمر این کدها حداکثر 12 می باشد. علاوه بر ا‎‏ین‏، در این فصل الگوریتمی ارائه می شود که خانواده بزرگی از کدها با نرخ‏، طول و کمر متغیر تولید می کند. از لحاظ کارائی روی کانال نویز سفید جمع شونده گوسی کدهای خلوت بلوکی گردشی با ساختار استوانه ای تولید شده با این الگوریتم‏، با وزن ستونی حداقل 3 و کمر حداکثر 12 حداقل به خوبی کدهای تصادفی هم ارزشان عمل می کنند و از کدهای ساخته شده با روش های قبلی بهتر عمل می کنند.

مسأله جریان با کمترین هزینه در شبکه هایی که دارای کران بالا و پایین ثابتی هستند به خوبی بررسی شده است. در این رساله مسأله جریان با کمترین هزینه روی شبکه هایی که کران پایین آن ها متغیر است‏، بررسی می شود. برای معرفی مسأله جریان با کمترین هزینه ابتدا مقدماتی از گراف ‏را بیان می کنیم. در این رساله هیچ برتری و تمایزی بین گراف و شبکه وجود ندارد به همین دلیل از اصطلاحات گراف و شبکه به عنوان اصطلاحات مترادف استفاده می شود. بعد از بیان مقدماتی از گراف و شبکه‏، مسأله جریان با کمترین هزینه را به همراه تعدادی دیگر از مسائل شبکه جریان مانند مسأله کوتاه ترین مسیر‏، مسأله بیشترین میزان جریان‏، مسأله تخصیص و مسأله حمل و نقل بیان می کنیم و سپس به معرفی تعدادی الگوریتم مانند الگوریتم حذف دور‏، الگوریتم کوتاه ترین مسیر و الگوریتم اولیه-دوگان که برای حل مسأله جریان با کمترین هزینه بکار برده می شوند‏، می پردازیم. در فصل سوم مدل مهمی از مسأله جریان با کمترین هزینه را بیان می کنیم که در آن همه یا تعدادی از کمان ها دارای کران پایین متغیر هستند. به طور خاص‏، یک کمان با کران پایین متغیر می تواند بسته (دارای جریان صفر) یا باز (دارای جریانی بین کران بالا و پایین) باشد. این ویژگی خاص باعث ایجاد یک مسأله ‎np-hard‎‏ به نام مسأله جریان با کمترین هزینه با کمان هایی با کران پایین متغیر می شود. مسأله جریان با کمترین هزینه با کمان هایی با کران پایین متغیر را به صورت مسأله برنامه ریزی خطی صحیح و ترکیباتی بیان می کنیم و از نرم افزارهای بهینه سازی ‏مانند نرم افزاری های ‏لینگو‎ و ‎‏سیپلکس‎ برای حل مسائل آن استفاده می کنیم. در فصل چهارم مسأله کمترین جریان را روی شبکه هایی که ظرفیت کران پایین کمان های آن بر حسب زمان تغییر می کند‏، بیان می کنیم. همچنین نشان می دهیم که برای نقاط زمانی‎ این مسأله را می توان به وسیله ترکیب روش بهینه سازی و الگوریتم ‏‎‎‏برگرداندن جریان اولیه حل کرد.

این رساله یک کلاس جدید از شبکه جریان را در نظر دارد که شبکه جریان مولد پویا نامیده می شود، که در آن، جریان به طور پویا در گره منبع، تولید می شود و به طور پویا در گره چاه مصرف می شود. کران های جریان روی کمان ها به زمان بستگی دارند. مسأله بیشینه جریان پویا را در چنین شبکه ای، روی بازه زمانی t در نظر می گیریم و سپس الگوریتمی برای حل مسأله پویا، به عنوان مسأله کمینه هزینه جریان ایستا به دست می آوریم.

در این پایان نامه همیلتنی بودن گراف ها بررسی شده است. شرایط لازم و کافی برای همیلتنی بودن گراف آورده شده است در ادامه به مطالعه گراف هایی که دارای تجزیه همیلتنی هستند می پردازیم.