روشی نوین در این پایان¬نامه بنیان گذاشته شده است که به دلیل پیشـینه موضوعات عددی به کار رفته در آن و چارچوبی که در آن پیاده-سازی می¬شود؛ روش مربع¬سازی دیفرانسیلی حساب تغییراتی (vdq) نام¬گذاری می¬گردد. ایده¬ی اساسی این روش بر تخمین دقیق و مستقیم یک فانکشنال به فرم درجه¬ی دو بر روی مجموعه¬ای محدود از نقاط گرهی گسترده شده در دامنه¬ی تعریف فانکشنال و مرز¬های آن استوار است. به این ترتیب، با برابر صفر قرار دادن تغییرات فانکشنال محاسبه شده، می¬توان شرایط اکسترمم شدن فانکشنال را به دست آورد. در روش vdq با بهره گرفتن از عملگرهای ماتریسی مشتق¬گیر و انتگرال¬گیر دقیق، که بر روی نقاط گرهی¬ مناسب ساخته می¬شوند؛ و محاسبه ابتکاری انتگرال دو جمله¬ی مزدوج به فرم درجه¬ی دو، این امکان فراهم می¬شود که بتوان اکسترمم یک فانکشنال را بدون استخراج و حل معادله¬ی دیفرانسیل فرم قوی آن، در چارچوب حساب تغییرات با خطای بسیار اندک محاسبه نمود. بنابراین با این روش می¬توان انتگرال جملات مزدوج انرژی موجود در فانکشنال اصل همیلتون را به فرم درجه¬ی دو گسسته کرد و از روی آن معادلات گسسته حرکت را به سهولت و بی واسطه استخراج و حل نمود. با ارائه¬ی یک نمایش ماتریسی جدید و کارآمد برای تنسور کرنش غیر خطی گرین-سن¬ونان، این امکان فراهم شده است تا با روش vdq معـادلات گسسته حرکت در الاستیسیته¬ی سه بعدی با در نظر گرفتن تمام جملات غیر خطی به صورت متقارن به دست بیاید. در ادامه، معادلات گسسته¬ی غیر خطی تیرها و ورق¬ها با در نظر گرفتن تنش پسماند با استفاده از روش vdq استخراج شده¬اند. مقایسه¬ی نتایج تحلیل خطی این معادلات با روش اجزای محدود (fem) و روش مربع¬سازی دیفرانسیلی تعمیم یافته (gdq)، برتری¬های روش vdq را در همگرایی و سهولت اجرا نشان می¬دهد. در مباحث تکمیلی، فرم کاهش یافته و نیمه تحلیلی روش vdq به منظور کاهش چشمگیر مجهولات، به ویژه در مسائل غیرخطی، ارائه گردیده است. همچنین، به کمک روش vdq و عملگرهای مشتق¬گیر متناوب، یک روش کلی وکارآمد برای تحلیل ارتعاشی بنیان گذاشته شده¬¬ است. با استفاده از این روش می¬توان موضوع پیچیده¬ی تغییر فرکانس در ارتعاشات غیر خطی را به سهولت مورد مطالعه قرار داد. علاوه بر این، پایان نامه¬ی حاضر برای اولین بار نمایش ماتریسی تئوری الاستیسیته¬ی گرادیان کرنش را ارائه می¬کند. با توجه به خاصیت تقارن دو تنسور مرتبه¬ی سوم گرادیان کرنش و تنش دوگانه، 18درایه¬ی غیر تکراری آن¬ها در دو بردار متناظر با هر یک به گونه¬ای کارآمد مرتب شده اند؛ تا بتوان در یک رابطه¬ی خطی ماتریسی، مانند رابطه¬ی کلاسیک بین تنش و کرنش، مقادیر بردار تنش دوگانه را از روی بردار گرادیان کرنش محاسبه کرد. ماتریس بدست آمده در این رابطه، یک ماتریس بلوک-قطری با اندازه¬ی 18×18 و کاملا متقارن است که ماتریس سفتی الاستیک مرتبه¬ی بالا (a)نامیده می¬شود. با استفاده از این ماتریس، فرم کلی تئوری الاستیسیته¬ی گرادیان کرنش میندلین به فرم شناخته شده¬ی ماتریسی درجه¬ی دو بر حسب بردار گرادیان کرنش بیان گردیده است. سپس، با استفاده از نمایش ماتریسی تئوری گرادیان کرنش، روش vdq برای این تئوری تعمیم داده شده است. در این روش، بردار گرادیان کرنش با ضرب عملگر مشتق¬گیر در بردار کرنش ساخته می¬شود. با این رویکرد، معادلات حاکم گسسته شده¬ی مرتبه¬ی بالا مشابه با معادلات گسسته شده¬ی کلاسیک بدست می¬آیند؛ و تنها ماتریس سفتی کلاسیک c با استفاده از ماتریس a و عملگرهای مشتق¬گیر از بردارکرنش اصلاح می¬شود. با هدف ارزیابی روش vdq، معادلات غیر خطی حاکم گسسته میکروتیرها و میکروورق¬ها بر پایه¬ی این روش استخراج شده¬اند و برای اولین بار، پدیده¬های غیرخطی پس¬کمانش، ارتعاشات تحت پس¬کمانش، ارتعاشات غیرخطی آزاد و اجباری حل گردیده و تاثیرات شرایط مرزی، شاخص گرادیان، نسبت طول به ضخامت و از همه مهمتر پارامتر مقیاس طول بر روی مسیر پاسخ غیرخطی در تحلیل¬های ذکر شده به خوبی بررسی شده¬اند. حل چنین مسـائل پیچیده¬ای، کارآمدی روش vdq را درحـل مسـائل پیش رو در مکانیک محاسـباتی به روشنی نشان می¬دهد.