در این پایان نامه ابتدا به معرفی سیستم رمزی rsa می پردازیم. این سیستم رمزنگاری با کلید عمومی اولین بار در میانه های سال 1970 مورد توجه قرار گرفت و سیستم rsa در سال 1978 مطرح شد به دلیل سادگی و همچنین امنیت بالای این سیستم به محبوبترین سیستم رمزنگاری باکلید عمومی تبدیل شد.سپس روی دستگاه معادلات پیمانه ای یک متغیره و چگونگی حل پذیری آن ها بحث خواهیم کرد. همچنین دستگاه معادلات پیمانه ای وابسته به پیام های ارسال شده در rsa را معرفی می کنیم و کران هایی روی تعداد این پیام ها بیان می کنیم به طوری که تحت این کران ها دستگاه معادلات پیمانه ای قابل حل باشند. در پایان به مساله اسموپ پرداخته و شرطی بهینه روی تعداد معادلات چندجمله ای پیمانه ای معرفی می کنیم.