حدس رنگ پذیری مساوی ابتدا توسط میر در سال‎$ 1973 $‎ مطرح شد. چون در این حدس خاصیت رنگ پذیری مساوی به طور کامل معلوم نبود. پس از بررسی شواهد وو، لی و چن حدس ‎$ igtriangleup $-‎رنگ پذیری مساوی را در سال ‎1994‎پیشنهاد دادند. در این پایان نامه رنگ پذیری ‎$ r $-‎مساوی را معرفی می کنیم و حدس ‎$ igtriangleup $-‎رنگ پذیری مساوی را در گراف ها بررسی می کنیم و همچنین عدد رنگی مساوی ‎$ chi_{=}(t) $‎ و آستانه رنگی مساوی ‎$ chi^{*}_{=}(t) $‎ را با شرطی خاص برای درخت ها بدست می آ وریم و همچنین ‎$ k $-‎رنگ پذیری ‎$ r $-‎مساوی را برای درخت ها و جنگل ها بررسی می کنیم.