در این پایان نامه، گراف اشتراک (g(r را که رئوس آن ایده آلهای چپ حلقه r است، بررسی می کنیم و در ادامه حلقه های r را مشخص می کنیم که، گراف (g(r همبند باشد، همچنین چند شرط لازم و کافی روی حلقه r برای کامل بودن بدست می آوریم. برای حلقه جابجایی و یکدار r نشان می دهیم که، (g(r کامل است اگر و تنها اگر ([g(r[x کامل باشد. در حالت خاص مشخص می کنیم برای چه مقادیری از n، گراف (g(z_n همبند، کامل، دو بخشی یا مسطح است و یا دارای دور می باشد. سپس گراف های متناهی که از گراف اشتراک z_n بدست می آیند را مشخص می کنیم و مجموعه تمام گراف های غیریکریخت با گراف z_n برای تعداد رئوس داده شده را بدست می آوریم. در آخر مقادیری از n را مشخص می کنیم که (g(z_n اویلری و یا همیلتنی باشد.