در این پایان نامه از تجزیه مقدار تکین در پردازش تصویر استفاده می شود. دو روش مشهور یکی به نام فشرده سازی تصویر و دیگری الگوگذاری تصویر مورد بررسی قرار می گیرد. در روش تجزیه مقدار تکین ماتریس a به صورت usvt تجزیه می شود. استفاده از مقادیر تکین این امکان را به ما می دهد که تصویر را با یک مجموعه کوچکتر از مقادیر تکین نمایش دهیم به طوری که با تصویر اصلی تفاوت زیادی نداشته و فضای کمتری برای ذخیره سازی استفاده می شود. مثال هایی با مقادیر تکین متفاوت ارائه می شود و نتایج فشرده سازی با استفاده از نسبت فشرده سازی و نرخ سیگنال راسی به نویز ارزیابی می شود. الگوگذاری تصویر برای حل مسائل حفاظت از حق مالکیت تصویر به کار می رود. در این پایان نامه یک روش الگوگذاری جدید ارائه می شود و برتری این روش جدید بر سایر روش ها نشان داده می شود.

مساله کمترن توان های دوم از اهمیت فراوانی در آنالیز عددی است. در این پایان نامه به بررسی روش های تکراری cgnr cgne lsqr ba-gmres و ab-gmres برای حل مساله کمترین توان های دوم می پردزیم. همچنین پیش شرط سازی این روش های تکراری را با پیش شزط rif و مقیاس بندی قطری ارائه می دهیم و نشان می دهیم روش های ba-gmres ab-gmres و cgnr cgne پیش شرط شده رفتار همگرایی مشابهی برای مسائل فرومعین (فرامعین) دارند. در پایان با مثال های عددی برای مسائل فرامعین و فرومعین نشان می دهیم که روش های gmres پیش شرط شده با پیش شرط rif سریع تر از سایر روش های تکراری به جوا مساله کمترین توان های دوم همگرا می شوند.

روش های بدون شبکه یک کلاس از روش های عددی برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی هستند. در این پایان نامه ابتدا به بررسی برخی روش های بدون شبکه مانند روش هیدرودینامیک های ذره ای هموار و روش حداقل مربعات متحرک می پردازیم. سپس توابع پایه ای شعاعی ‎ rbfرا معرفی می کنیم، توابع پایه ای شعاعی ابزاری مناسب برای حل معادلات دیفرانسیل هستند که برای تقریب معادلات دیفرانسیل از rbf با تکنیک هم محلی استفاده می کنیم. روش های کارآمد بدون شبکه نیاز به یک روش هوشمند برای اضافه کردن و حذف کردن نقاط درونیابی دارند، برای این منظور از روش نمونه برداری مانده استفاده می کنیم. این روش برای تعیین یک مجموعه مناسب از نقاط درونیابی برای نمایش موثر یک تابع مفروض ‎w(xi) مورد استفاده قرار می گیرد. همچنین روش‎ rbf ‎ در گام های زمان را معرفی کرده که در آن ماتریس حاصل از گسسته سازی بدوضع است، که با تجزیه ‎ plu ماتریس ضرایب، مقادیرخطای خوبی حاصل می شود. چند مثال از معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی وابسته به زمان را با استفاده از این روش ها تقریب می زنیم و مقادیرخطای آن ها را محاسبه می کنیم.

روشهای تکراری بر مبنای شکاف ( روشهای تکراری پایه) یکی از متداول ترین روشها برای حل دستگاه معادلات خطی هستند. در سالهای اخیر مقالات زیادی برای بهبود این روشها ارائه شده اند. در این رساله در ابتدا بر مبنای شکاف بلوکی ماتریس ضرایب یک روش aor تعمیم یافته جدید برای حل دستگاههای خطی ارائه می دهیم. این روش حتی وقتی که بعضی از عناصر قطری ماتریس a صفر باشند نیز خوش تعریف است. آنالیز همگرایی و قضیه های مقایسه ای را نیز برای روش جدید ارائه می دهیم. همچنین پیش شرطهای به شکل p=i+s را برای l-ماتریسها مورد تجزیه و تحلیل قرارمی دهیم و بر مبنای تجزیه مقدماتی ماتریس ها در مورد چگونگی ساخت این پیش شرطها توضیحاتی بیان می کنیم.با استفاده از روش تحلیل هوموتوپی یک روش تکراری با استفاده از ماتریس تکرار روشهای تکراری پایه پیشنهاد می کنیم و نشان می دهیم از روش جدید می توان برای تسریع همگرایی روشهای تکراری پایه ای همگرا نیز استفاده کرد و همچنین این روش جدید برای دسته وسیعتری از ماتریسها (ماتریس های متقارن یا دارای مقادیر ویژه حقیقی) همگرا است. در انتها با استفاده از بسط تیلور تعمیم یافته روش جدید دیگری پیشنهاد می دهیم و نشان می دهیم که این تعمیمی از روش تحلیل هوموتوپی است و تمام کارایی های آن را دارا می باشد. برای حالتهای خاص بازه های همگرایی پارامتر کنترل همگرایی را به دست می آوریم. برای هنگامی که ماتریس تکرار روش تکراری پایه دارای مقادیر ویژه حقیقی است پارامترهای بهینه را تعیین می نماییم. برای همه روشهای پیشنهاد شده با مثالهای عددی صحت مطالب را بررسی می نماییم.

در این پایان نامه از تکرار نیوتن و روش مربع سازی متوالی ماتریس برای محاسبه معکوس مور-پن رز ماتریس های توپلیتز استفاده شده است. ماتریس های توپلیتز دارای ساختار خاص با عناصر قطری ثابت در امتداد قطرها هستند. ‎محاسبه ‎معکوس ‎مور-پن رز ‎ماتریس های ‎توپلیتز ‎در ‎حوزه های ‎مختلف ‎ریاضیات‏، ‎علوم ‎محاسباتی و‎ ‎مهندسی ‎کاربرد ‎زیادی ‎دارند.‎ به دلیل ‎ساختار ‎خاص ‎ماتریس های ‎توپلیتز و‎ ‎نیز ‎کاربردهای ‎زیاد ‎آن ها ‎ریاضیدانان‏، ‎دانشمندان و‎ ‎مهندسین ‎مایل ‎به ‎ارائه ‎الگوریتم های ‎سریع ‎برای ‎محاسبه ‎معکوس ‎مور-پن رز ‎آن ها ‎هستند. ‎‎به ‎عنوان ‎مثال ‎تکرار ‎نیوتن ‎کلاسیک رای معکوس کردن یک ماتریس ‎$ a $‎ توسط شولتز در سال ‎1933‎ پیشنهاد شده است. با نگاهی به مقاله شولتز می توان دریافت که او این روش را برای ماتریس های دلخواه پیشنهاد نداده است (زیرا بسیار پرهزینه خواهد بود). جالب است که شولتز یک مثال از یک ماتریس توپلیتز را در نظر می گیرد که ساختار آن اعمال ماتریسی خیلی ارزانی نتیجه می دهد. لذا تکرار شولتز تنها در موارد ماتریس های ساخت یافته موثر است.کیلات ‎ مفهوم رتبه تغییر مکان و هم چنین عملگر تغییر مکان را برای ماتریس های نزدیک به توپلیتز معرفی می کند. راه نظریه تغییر مکان در طراحی الگوریتم های معکوس کردن سریع برای ماتریس های ساخت یافته به خصوص ماتریس های توپلیتز و هنکل بسیار قوی است. در این پایان نامه به بررسی روش تکرار نیوتن و روش مربع سازی متوالی ماتریس برای محاسبه معکوس مور-پن رز ماتریس های توپلیتز با استفاده از مفهوم نمایش تغییرمکان متعامد و هم چنین رتبه e-تغییر ‎مکان‎ خاصیت های عددی روش شولتز و تقویت شده توسط مفهوم نمایش تغییر مکان متعامد و هم چنین رتبه ‎-eتغییر مکان‏ و موثر بودن اعمال روش را بر ماتریس های ساخت یافته نشان می دهیم و ملاحظه می کنیم که تمام محاسبات نیاز به حافظه و زمان ‎cpu‎کمتری نسبت به روش های کلاسیک به خصوص برای ماتریس های بزرگ مقیاس دارند.

‏در‎ این رساله دو روش مبتنی بر شکاف هرمیتی و هرمیتی اریب برای حل معادلات ماتریسی خطی به شکل ‎$‎‎‎axb=c‎$‎‏ و ‎$‎‎‎ax+xb=c‎$‎‏ ارائه می شوند. در هر یک از این روشها با به کار بردن تکرارهای تو در تو‏، ابتدا در هر تکرار داخلی یک معادله ماتریسی را حل کرده و جواب این معادله داخلی را به عنوان ‎‏تقریبی از جواب معادله اصلی در نظر گرفته و تکرارهای بیرونی را تا رسیدن به جواب معادله ادامه می دهیم. ‎روش اول که روش گرادیان مزدوج با شکاف تو در تو‏ ‎(nscg) ‎ نامیده می شود‎، برای معادلات ماتریسی مناسب است که ماتریسهای ضرایب آنها نیمه معین مثبت و حداقل یکی از این ماتریسهای ضرایب معین مثبت باشند. در این روش قسمتهای هرمیتی ماتریسهای ضرایب مسأله اصلی به عنوان ماتریسهای ضرایب معادله ماتریسی داخلی به کار می روند و در هر تکرار بیرونی‏، معادله داخلی با روش گرادیان مزدوج ‎(cg)‎ حل می شود.‎ در روش‎ دوم که مانده نرمال گرادیان مزدوج با شکاف تو در تو ‏‎(ns-cgnr)‎ می باشد‏، از قسمتهای هرمیتی اریب ماتریسهای ضرایب مسأله اصلی به عنوان ماتریسهای ضرایب معادله ماتریسی داخلی استفاده می شود و در هر تکرار بیرونی‏، معادله داخلی را با روش مانده نرمال گرادیان مزدوج ‎(cgnr)‎‏ حل می کنیم.‎‎ شرایط همگرایی برای هر دو روش به صورت عمیق بررسی می شوند و کارایی این روشها در مقایسه با برخی روشهای تکراری متداول در مثالهای عددی متعددی نشان داده شده است. همچنین، با استفاده از مثالهای عددی‏، نشان داده ایم که به کار بردن شکاف مربوط به روشهای جدید ارائه شده به عنوان پیش شرط شکافی برای روشهای زیرفضای کریلف‏، می تواند باعث بهبود کارایی روشهای زیرفضای کریلف شود.

در این رساله ابتدا با استفاده از چند جمله ای های برنولی و خواص آن ها ماتریس های عملیاتی مشتق، انتگرال و حاصلضرب چند جمله ای های برنولی ساخته می شوند و روش ماتریسی برنولی معرفی می گردد. سپس در اولین تلاش روش ماتریسی مذکور را برای حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی ماتریسی مرتبه اول به کار برده و کارایی این روش را نسبت به روش هم مکانی از طریق حل چند مثال عددی نشان می دهیم. همچنین حل عددی معادلات با مشتقات جزئی مرتبه اول و دوم ماتریسی با شرایط اولیه را در نظر گرفته و آنالیز همگرایی روش ماتریسی برنولی برای معادلات مذکور را بررسی خواهیم کرد. در انتهای این رساله نیز کاربرد روش مذکور را در حل عددی معادلات با مشتقات جزئی سهموی یک بعدی با شرایط مرزی غیرمحلی، معادلات با مشتقات جزئی سهموی دو بعدی با شرایط مرزی دیریخله، معادلات انتگرالی فردهلم یک بعدی و معادلات انتگرالی فردهلم دو بعدی شرح داده می شوند و در اینجا نیز کارایی روش جدید پیشنهاد شده نسبت به چند روش عددی دیگر از طریق حل مثال های عددی نشان داده خواهد شد.

مطالعه بر روی روش های ترکیبی از ‎50‎ سال پیش آغاز شده و تا به حال افراد زیادی با افزودن نقاط غیر گامی ساده ای به روش های چندگامی خطی، روش های ترکیبی را بوجود آورده اند. در این پایان نامه به معرفی برخی روش های ترکیبی برای حل معادلات مرتبه اول و نیز رده هایی از روش های ترکیبی برای معادلات مرتبه دوم، پرداخته ایم. در روش های ترکیبی برای معادلات مرتبه دوم‎p-سری ‎ها را برای فرموله کردن دیدگاه چن بکار برده و شرایط مرتبه و دو مشخصه از تقارن را برای آن بدست می آوریم.اگرچه بدست آوردن شرایط مرتبه از طریق نظریه کلاسیک برای روش های نیستروم هم امکان پذیر است اما این روش، راه حل ساده تری را در اختیار ما گذاشته و در بدست آوردن شرایط مرتبه برای مراتب بالاتر هم به ما کمک می کند.هم چنین دو نوع از درختان ریشه دار وابسته به ‎b-2‎سری ها و ‎ p-‎سری ها را برای بدست آوردن شرایط مرتبه برخی روش های ترکیبی صریح، معرفی می نماییم.

مسایل شبکه های جریان با کم ترین هزینه یکی از مسایل مهم شبکه هستند و بسیاری از مسایل مهم بهینه سازی ترکیبیاتی از جمله مسایل تخصیص خطی، حمل و نقل، مسایل بیش ترین جریان و کوتاه ترین مسیر نوع خاصی از ‏این مسأله محسوب می شوند. از جمله روش هایی که برای حل مسایل جریان با کم ترین هزینه بزرگ مقیاس ارایه شده اند‏، می توان به روش های نقطه درونی اشاره کرد. در بیشتر این روش ها، برای حل دستگاه مورد نظر از روش گرادیان ‏مزدوج پیش شرط شده استفاده می شود که با انتخاب حساس و مهم ماتریس پیش شرط همراه است. این پیش شرط ها باید هم همگرایی روش را تسریع بخشند و هم به سادگی ساخته شوند و تولید آنها پرهزینه نباشد.‎ در‎ این پایان نامه‏، پیش شرط های مناسبی را برای الگوریتم‎ مقیاس بندی آفین دوگان‎‎ برای حل مسایل شبکه جریان با کم ترین هزینه‎‎ ارائه می دهیم.