با استفاده از روش fdtd معادلات ماکسول و معادلات حرکت را به طور همزمان حل میکنیم . برای استفاده از این روش فضای مکانی و زمانی ای که لیزر الکترون آزاد در آن تولید میشود را گسسته کرده و در هر سلول شبکه یک میدان مغناطیسی، میدان الکتریکی، سرعت و چگالی برای هر ذره در نظر میگیریم به طوریکه برخی از این کمیت ها را روی نقاط شبکه و برخی دیگر را – که مشتق کمیت های گروه اول هستند- در فاصله ½ از نقاط شبکه (یعنی در بین نقاط) محاسبه میکنیم. ابتدا با توجه به شرایط اولیه از معادلات حرکت به ترتیب سرعت، مکان و چگالی ذرات را بدست می آوریم. البته لازم به ذکر است از آنجایی که تعداد ذرات بسیار زیاد و حافظه رایانه ها محدود است، ما این معادلات را برای ذراتی به نام ماکروذرات که نماینده ذرات سیستم هستند حل میکنیم. برای معرفی کردن شکل این ماکرو ذرات ها از تابع وزن کمک میگیریم. تابع وزن را در مسئله های مختلف بنا به لزوم و دقت مسئله در تقریب های متفاوت به کار میگیرند. ما در مسئله خود از تقریب مرتبه دوم برای ارائه تابع وزن استفاده میکنیم. بعد از یافتن سرعت، مکان و چگالی ذرات، از معادلات ماکسول مقدار و چگونگی میدان الکتریکی و میدان مغناطیسی حاصل از ذرات باردار و حرکت آنها را بدست می آوریم. با داخل شدن باریکه الکترونی میدان الکتریکی و میدان مغناطیسی موجب تغییر سرعت و مکان ذرات باریکه و در نتیجه چگالی ذرات آن می شود. تغییر این کمیت ها، میدان الکتریکی و میدان مغناطیسی جدیدی ایجاد می کند و در نتیجه باعث تغییر میدان الکتریکی و میدان مغناطیسی کل سیستم در هر نقطه می شود. این تغییر میدان ها بر سرعت و مکان ذرات باریکه و در نتیجه چگالی ذرات آن مجدد تاثیر می گذارد . این روند تاثیر متقابل تا جایی ادامه می یابد که باریکه همدوس و با انرژی و بسامد خاص از محفظه خارج شود و لیزر مورد نظر ما تولید شود. به دلیل همین وابستگی این معادلات، ما معادلات ماکسول و معادلات حرکت را به طور همزمان در نظر میگیریم و به حل آن می پردازیم. در این پایان نامه از روش fdtd و فرآیند گفته شده استفاده می کنیم تا با استفاده از شبیه سازی عددی، انرژی و بسامد نوع خاصی از لیزر الکترون آزاد را برای شرایط اولیه ویژه ای بدست آوریم. استفاده از این روش چند ویژگی قابل توجه دارد، fdtd برای مرزهای مستقیم در مختصات کارتزین بسیار ساده تر و کارآمدتر از روش های دیگر مانند fem است و خطای آن بسیار کمتر است . دیگر برتری fdtd این است که لازم به ذخیره هیچ ماتریسی نیست و این باعث می شود که مصرف حافظه پایین باشد و این امکان را به ما می دهد که مسئله هایی با تعداد بالای مجهول ها را بتوانیم حل کنیم. استفاده از روش شبیه سازی عددی این امکان را به ما می دهد که از چگونگی شرایط تولید و ویژگی لیزرهایی که تا کنون به طور عملی تولید نشدند ، بدون صرف هزینه آزمایش و با کمترین خطا اطلاع یابیم.