فرض کنید ? یک گراف بامجموعه رئوس v(?)= {v1 , …vn} و مجموعه یال ها ی e(?) = {e1 , …,en} باشد. ماتریس مجاورت گراف? که با a= [aij] نمایش داده می شود،ماتریس n×n است که در آن aij = 1 اگر vi به vj مجاور باشد درغیراین صورت aij=0 . چندجمله ای det(??-a)= (?)? راچندجمله ای مشخصه گراف ? می نامیم. ریشه های (?)? به همراه تکرر طیف ? نامیده می شوند. بوضوح چون ضرایب چندجمله ای مشخصه اعدادی صحیح هستندنتیجه می شودمقادیرویژه هرگراف اعدادصحیح جبری هستندومی دانیم هرعددصحیح جبری گویاعددی صحیح است.گرافهایی که مقادیر ویژه آنهااعدادی صحیح هستندحائزاهمیت است چنین گرافهایی راصحیح می نامند. همچنین اگرg یک گروه باشد و s زیرمجموعه ای ازg باشد که 1- شامل عضوهمانی نیست 2- اگر a ? s آنگاهa-1? s آنگاه گراف cay(g,s) گرافی است که مجموعه رئوس آن عناصرgهستند. {{a,bیک یال آن است هرگاه s?ab -1 دراین پایان نامه به مطالعه گروههایی خواهیم پرداخت که گراف کیلی متناظرآن که دارای ماتریس مجاورت بامقادیرویژه صحیح باشد. برای نخستین بارهری واس چونک درسال 1974 مفهوم گرافهای صحیح رامطرح کردند.سودرسال 2006ثابت کردکه هرگراف کیلی یک گروه دوری ،دوری است وهمچنین دراین مقاله گرافهای دوری صحیح شناسایی شدند. علاوه ثابت شده است گرافهای کیلی روی zn گرافهای دوری صحیح هستند. همچنینklotcو sanderنشان داده اند اگر sمتعلق به جبربولی تولیدشده توسط زیرگروهای گروهی آبلی باشد cay(g,s{e}) گرافی صحیح است. بررسی ومطالعه گرافهای کیلی صحیح روی گروههایی متناهی آبلی به پایان رسیده است امادرموردگروههای ناآبلی نتیجه آنچنانی حاصل نشده است. gگروه متناهی غیربدیهی است وsزیرگروه gو همچنین s=s-1 وeعنصرهمانی گروه g. کیلی گراف cay(g,s) هست گرافی که مجموعه رئوس آن ازgاست ودورأس aوbمجاورهستند هرگاه ab-1? s 1-نشان می دهیم که اگر gغیرساده متناهی باشد .دراین صورت gیک گروه ساده صحیح کیلی است اگروتنهااگر g? z p2 یا g? z2×z2 (pعددی اول است) 2-نشان می دهیم وجوددارد گروههای متناهی ناآبلی ساده که کیلی صحیح ساده نیستند