آنالیز ناهموار منتسب به آنالیزی بدون مشتق پذیری است که می توان به عنوان زیرمجموعه ای از آنالیز غیرخطی در نظر گرفت. منشا این آنالیز در اوایل 1970 می باشد، هنگامی که نظریه پردازان کنترلی و برنامه ریزان غیرخطی در جستجوی حل مسائل بهینه سازی برای توابع غیرهموار بودند. در آنالیز ناهموار به معرفی مفاهیم جدیدی که زیردیفرانسیل نامیده می شود پرداخته و آنرا جایگزین مشتق نموده است. از جمله زیردیفرانسیل هایی که در چند دهه اخیر بطور متداول مورد استفاده قرار گرفته عبارتند از: زیردیفرانسیل فرشه، زیردیفرانسیل کلارک، زیردیفرانسیل هادامارد، زیردیفرانسیل میشل-پنت و ... . در این پایان نامه به بیان مفاهیم و تعاریف مقدماتی در آنالیز ناهموار و سپس به تعریف تابع محمل و رابطه آن با زیردیفرانسیل ها و بیان قضیه مقدار میانگین برای زیردیفرانسیل کلارک می پردازیم.برای توابع دیفرانسیل ناپذیر و بیان برخی از خواص آنها می پردازیم. اخیراً کلارک و لیدیو دو نوع متفاوت از نامساوی های مقدار میانگین چند سویی را اثبات نموده اند. ما در این پایان نامه به بسط نامساوی مقدار میانگین در فضای هموار باناخ می پردازیم که اثباتهای ما با استفاده از یک قانون جمع فازی غیرموضعی است. از طرفی قضیه مقدار میانگین کلاسیک برای توابع حقیقی مقدار دیفرانسیل پذیر روی مجموعه محدب و همبند بیان شده است . در چند سال اخیر قضیه مقدار میانگین برای کلاسهای متفاوتی از توابع دیفرانسیل ناپذیر موضوع بسیاری از تحقیقات و مقالات بوده است که این نتایج توسط مفاهیم متعددی از تعمیم گرادیان در محاسبات دیفرانسیل و زیردیفرانسیل در آنالیز محدب بیان گردیده، اما همواره روی مجموعه های محدب همبند بحث شده لذا ما در این پایان نامه قضیه مقدار میانگین برای دسته بزرگتری از توابع بیان کردیم. در حقیقت این قضیه روی مجموعه های محدب پایا که لزوماً محدب و همبند نیستند، اثبات کرده ایم.