‎‎‎‎بحث و مطالعه ی ‎‎مشتق و انتگرال گیری کسری حدود 300‎ ‎ سال پیش وقتی شروع شد که لایب نیتز این سوال را مطرح کرد اگر در فرمول مشتق معمولی ‎‎‎n=1/2‎ باشد چه ‎‎إتفاقی می ‎‎‎اُفتد. در آن زمان آبل و اویلر و... پاسخ هایی به این سوال دادند ولی این مفاهیم و مباحث هم چنان بدون توجه‎‎ باقی ماندند تا اینکه کاربردهای محاسبات کسری در فیزیک و مهندسی ظاهر شد به این صورت که وقتی برای پدیده های فیزیکی و مهندسی مدل ریاضی ساختند به معادلات دیفرانسیلی برخوردند که تابع مجهول در آن ها مشتق کسری پیدا کرد. دراین پایان نامه, ابتدا با استفاده از فرمول های انتگرال چندگانه پیوسته‏, انتگرال ‏و مشتق کسری به مفهوم ریمان-لیوویل و سپس خاصیت های این نوع از انتگرال و مشتق در طی چند لم و قضیه بحث می شود.‎‎ در ادامه, مسئله مقدار اولیه برای یک دستگاه از معادلات دیفرانسیل کسری بررسی می شود که هدف این پایان نامه اثبات تعدادی قضایای وجود و یگانگی جواب برای تعدادی معادلات دیفرانسیل کسری غیرخطی و سپس بررسی وجود و یگانگی جواب برای یک دستگاه معادلات دیفرانسیل کسری می باشد. در پایان کاربرد های ا‏ین گونه معادلات را در علوم و مهندسی بیان می کنیم.