در دهه 1970 ، ایده شگفت آور رمزنگاری کلید عمومی با هدف رفع نقیصه موجود درسیستم های رمزنگاری کلاسیک( یعنی سیستم های رمز نگاری کلید خصوصی) ابداع گردید. در این سیستم فرستنده از یککلید آشکار، و نه پنهان، برای رمزی کردن پیام استفاده و آن را ارسال می کند. گیرنده نیز با استفاده از کلید خصوصی، که نزد خود وی است به همراه کلید عمومی ای که فرستنده برای رمز کردن پیام استفاده کرده، متن دریافتی را رمزگشایی می کند. یک مهاجم، برای اینکه متن ارسالی را رمز گشایی نماید احتیاج به کلید خصوصی دارد و دانستن آن برای مهاجم منجر به حل مسائل ریاضی دشواری می گردد که سیستم رمز برپایه آن ساخته شده. به این ترتیب دشوار بودن مساله ریاضی مربوط امنیت این سیستم رمز را تضمین می کند و آن را به عنوان سیستمی امن قابل استفاده می سازد. در این پایان نامه سیستم رمزی را مورد بررسی قرار می دهیم که امنیت آن بر پایه ی دو مساله و svp ریاضیاتی دشوار، یعنی مساله کوتاه ترین بردار و مساله نزدیک ترین بردار در مشبکه ها، موسوم به استوار است. همچنین نشان می دهیم که سیستم ها ی رمزی که براین اساس و با استفاده از ایده آلهای cvp، دو جمله ای، که در نظریه پایه های گروبنر جایگاه ویژه ای دارند، ساخته می شوند، درمقابل سیستم های رمز مشابه، از امنیت بالاتری برخوردار می باشند. به این ترتیب نشان می دهیم که بر خلاف عقیده ی برخی محققین که در تلاش بودند تا پایه های گروبنر را برای سیستم های رمز به کاربرند و تلاش هایشان به نحو ی ناامیدانه به انجامی نرسید، استفاده از نوع خاص از پایه های گروبنر در ساختن سیستم های رمز امن امکانپذیر است.