امروزه شبکه های ارتباطی نقش مهمی در زمینه های مختلف زندگی بشر ایفا می کنند. یک شبکه را می توان به عنوان مجموعه ای از گره ها و یال ها در نظر گرفت که در آن برخی از گره های خاص شبکه، پایانه نامیده می شوند. از نقطه نظر قابلیت اعتماد، مولفه ها (یال ها یا گره های شبکه) در معرض خرابی قرار می گیرند که ممکن است بر اساس یک مکانیسم تصادفی اتفاق بیفتد. خرابی مولفه ها ممکن است باعث تغییر وضعیت شبکه شود. آنچه در این رساله مورد بررسی قرار می گیرد، شبکه هایی است که تنها دارای دو وضعیت فعال و غیرفعال می باشند. همچنین فرض می کنیم که یال ها یا گره های شبکه در معرض خرابی قرار دارند. در چند دهه اخیر، مدل سازی و تحلیل قابلیت اعتماد شبکه، به طور وسیع و با استفاده از روش های مختلف گسترش یافته است. هدف اصلی رساله حاضر، بررسی خواص مختلف قابلیت اعتماد شبکه، از جنبه های مختلف و بر اساس این فرض است که خرابی مولفه های شبکه طبق یک فرآیند شمارشی رخ می دهد. در روند انجام این کار، مفهومی به نام ‎«‎طیف خرابی‎»‎ نقش مهمی را ایفا می کند. این رساله به صورت زیر سازماندهی می شود: در فصل ‎1‎، برخی از مفاهیم اساسی را ارائه می دهیم که در طول رساله مورد استفاده قرار می گیرند. در فصل ‎2‎، مروری بر برخی از روش های موجود در بررسی قابلیت اعتماد شبکه ها خواهیم داشت. فصل ‎3‎ به مطالعه قابلیت اعتماد شبکه مبتنی بر طیف خرابی آن، تحت این فرض که مولفه های شبکه تحت یک فرآیند شمارشی خراب می شوند، می پردازد. نمایش آمیخته ای برای قابلیت اعتماد طول عمر شبکه، بر حسب توابع قابلیت اعتماد زمان های ورود فرآیند ارائه می کنیم. نشان می دهیم که وقتی طیف های خرابی دو شبکه به طور تصادفی ترتیب می شوند، آن گاه تحت برخی شرایط، طول عمرهای دو شبکه نیز به طور تصادفی مرتب می شوند. در حالت خاصی که فرآیند خرابی مولفه ها، یک فرآیند پواسن ناهمگن است، یک نمایش آمیخته برای قابلیت اعتماد شبکه به دست می آوریم و خواص تصادفی و سالخوردگی متعددی از طول عمر شبکه را از جنبه های مختلف بررسی می کنیم. نرخ خطر طول عمر شبکه و رفتار مجانبی آن نیز مورد بحث قرار می گیرد. در فصل ‎4‎، قابلیت اعتماد پویای شبکه را تحت این فرض که مولفه های شبکه طبق یک فرآیند پواسن ناهمگن از کار می افتند، مورد مطالعه قرار می دهیم. نمایش های آمیخته متعددی برای تابع قابلیت اعتماد عمر باقیمانده شبکه، تحت شرایط مختلف بر وضعیت شبکه یا مولفه های آن، ارائه می کنیم. همچنین تابع توزیع زمان غیرفعال بودن شبکه ای که در زمان بازرسی ‎$t$‎ متوجه شده ایم از کار افتاده است، مورد بررسی قرار می گیرد. مثال ها و نمودارهای متعددی نیز برای نشان دادن برقراری نتایج در این فصل، ارائه شده است. فصل ‎5‎ به محاسبه طیف خرابی شبکه اختصاص دارد. در این فصل، یک الگوریتم جدید ارائه می دهیم که ما را قادر می سازد تا بردار طیف خرابی شبکه های پیچیده را برآورد کنیم. الگوریتم پیشنهادی، برای برآورد کردن طیف خرابی شبکه خیابان های تهران استفاده می شود.

امروزه یکی از مهم ترین مباحث در بخش احتمالات کاربردی، مبحث قابلیت اعتماد می باشد. اصولاً هنگامی که یک موجود زنده (قطعه ی ساخته شده) وظیفه ی معینی را انجام می دهد سوالات گوناگونی مطرح می شود که از مهم ترین آن ها این است که، چقدر می توان به آن موجود ‎(قطعه)‎ در انجام وظیفه اعتماد کرد؟ آیا می توان چنین اعتمادی را افزایش(کاهش) داد؟چنین سوالاتی و سوالات مشابه می تواند از دغدغه های بشر امروزی مخصوصاً، در زمینه ی صنعت،پزشکی و اقتصاد باشد. قابلیت اعتماد یک سیستم می تواند بر اساس قابلیت اعتماد اجزاء تشکیل دهنده ی آن سیستم به دست آید. هر یک از این اجزاء به طور مستقل یا وابسته به یکدیگر وظیفه ی معینی را انجام می دهند و بسته به نوع اتصال آن ها سیستم وظیفه ی خود را انجام می دهد. از اوایل دهه ی ‎1980 مهندسین طراح به دنبال راه هایی برای ارتقاء قابلیت قطعات و سیستم های تولیدی بوده اند. کو و همکاران ‎(2002) به منظور افزایش قابلیت سیستم 9‎ روش اساسی ذکر کرده اند که از جمله ی آن ها، می توان به افزایش قابلیت مولفه های سیستم و استفاده از افزونگی اشاره کرد. افزایش قابلیت، در واقع افزایش قابلیت یک مولفه با استفاده از یک سری فرایند شامل آزمایش و تعمیر مولفه یا سیستم می باشد در حالی که، افزونگی شامل تخصیص یک یا بیش تر از یک مولفه (مشابه یا متفاوت با مولفه های اصلی) به مولفه یا زیر سیستم است. موضوع اصلی این پایان نامه استفاده از افزونگی جهت ارتقاء قابلیت سیستم و رسیدن به طول عمر بهینه، با توجه به محدودیت های موجود می باشد. این تحقیق، مطالعه ای است بر مفاهیم افزونگی و مقایسه ی طول عمر سیستم های منسجم بر اساس نوع افزونگی از نقطه نظر ترتیب بندی های مختلف، که در شش فصل تنظیم شده است. فصل اول را به موضوع و پیشینه آن تخصیص داده ایم. در فصل دوم، تعاریف و مفاهیم اساسی قابلیت اعتماد که مخصوصاً در این پایان نامه از آن ها استفاده می شود ارائه شده است. در فصل سوم، قابلیت اعتماد سیستم را به عنوان تابعی از قابلیت اعتماد اجزاء آن در نظر گرفته و مسأله ی افزونگی ساکن را بررسی می کنیم. در ادامه و در فصل چهارم با در نظر گرفتن قابلیت سیستم به عنوان تابعی از زمان، افزونگی پویا‎ (زمان وابسته) را بررسی کرده و نقش مولفه ‎(مولفه های)‎ افزونگی را از نقطه نظر ترتیب بندی های مختلف در ارتباط با طول عمر سیستم (به ویژه سیستم های متوالی) مورد مطالعه قرار می دهیم. در فصل پنجم نوع خاصی از افزونگی تحت عنوان افزونگی گرم را بیان کرده و با ذکر مثال هایی چنین افزونگی را توضیح می دهیم. فصل ششم را به افزونگی با مولفه های وابسته اختصاص داده ایم و مباحث مربوط به افزونگی فعال و آماده باش را برای سیستم دو مولفه ای مورد بحث و بررسی قرار می دهیم.‎