این پایان نامه شامل سه فصل می باشد در فصل اول مفاهیم و تعاریف مقدماتی مورد نیاز در فصل های آتی را بیان می نماییم و سپس به معرفی تعاریف و مفاهیم اولیه حساب تغییرات که منشاء این نظریه می باشند می پردازیم و معادله دیفرانسیل اویلر-لاگرانژ را با دو روش بدست می آوریم و کاربردهای آنرا بوسیله چند مثال از جمله خم کوتاهترین زمانم ذکر می نماییم در فصل دوم روش های تقریبی بدست آمده از حساب تغییرات که شامل روش های ریلی-ریتز، گالرکین وکانتروویچ می باشند را، به کمک قضیه ای که جواب های یک مساله مقدارز مرزی را با اکستر مال های یک تابعک متناظر میکند بررسی می نماییم بالاخره در فصل سوم با درنظر گرفتن یک معادله دیفرانسیل تکانشی با شرط مرزی مرکب وبیان شرطpalais-smaleرابطه بین جواب های ضعیف وکلاسیک را بررسی نموده و وجود 2kجواب متمایز را برای آن تضمین می نماییم