فرض کنید r حلقه ای جابجایی و یکدار باشد. رادیکال پوچ r را با nil(r) نمایش می دهیم که برابر اشتراک همه ایده آل های اول حلقه r می باشد. ایده آل i از حلقه r را یک ایده آل غیر پوچ می نامیم هرگاه i ? nil(r). همچنین h را مجموعه ای از حلقه های یکدار و جابجایی در نظر می گیریم که رادیکال پوچ آن ها یک ایده آل اول تقسیم شده است. فرض کنید r ? hو t(r) حلقه کامل کسرهای r باشد. تابع ?: t(r) ? r_(nil(r)) را با تعریف ? (a?b) = a?b به ازا ی هر a? r و b ? r ?z(r)در نظر بگیرید. در این صورت ? یک همریختی حلقه ای از t(r) به تویr_(nil(r)) می باشد و تحدید ? به r با ضابطه ? (x) = x?1 برای هر x ? r نیز یک همریختی حلقه ای از r به r_(nil(r)) می باشد. ایده آل غیر پوچ i از r را ?-وارون پذیر نامیم هرگاه ?(i) ایده آل وارون پذیری از ?(r) باشد. اگر هر ایده آل غیر پوچ از حلقه r، ?-وارون پذیر باشد، آنگاه r را یک حلقه ?-ددکیند می نامیم. همچنین r را ?-کرول نامیم اگر ? (r) = ?v_i، که در آن هر v_i یک رو حلقه گسسته ?-زنجیره ای از ?(r) است و برای هر عضو غیر پوچتوان x ? r، ?(x) در تعداد متناهی ازv_i ها یکال باشد. در این پایان نامه ابتدا خواص حلقه های ?-ددکیند و ?-کرول را بررسی می کنیم. سپس رابطه بین این دسته از حلقه ها را با حلقه های ددکیند و کرول مطالعه می نماییم.