در بحث دستگاه های چند ذره ای، مطالعه ی رفتار دینامیکی سیستم های پیچیده برهم کنشی، یک عرصه فعال است. دستگاه چند ذره ای ممکن است یک سیستم اسپینی برهم کنشی باشد. دراین پایان نامه بررسی رفتار یک سیستم اسپینی (سیستم دو ترازه) که به یک محیط فرمیونی جفت شده است، موردنظر می باشد. به عبارت دیگر یک سیتم منفرد با اسپین2/1 با چشمه ای از فرمیون ها برهم کنش دارد. در فصل اول، هامیلتونی یک سیستم دو ترازه که تحت تأثیر یک میدان مغناطیسی است مورد بررسی قرار می گیرد. فصل دوم به معرفی هامیلتونی سیستم دو ترازه در قالب کوانتش دوم وعملگرهای هوبارد اختصاص داده شده است و پس از آن هامیلتونی الکترون- فونون مطرح می گردد. در فصل سوم برای سادگی عملیات، جفت شدگی هامیلتونی سیستم دو ترازه با چشمه ای از بوزون ها در قالب عملگرهای هوبارد و چگالی حالت ها معرفی ومحاسبه می گردد. بحث جفت شدگی سیستم دو ترازه ی اسپینی با فرمیون ها مشابه حالت چشمه ی بوزون هاست. برای این منظور از روش تقریبی باز بهنجارش عددی برای نوشتن هامیلتونی الکترون- فونون در جملاتی از عملگرهای هوبارد استفاده می کنیم.