مطالعه‎‎‎‎ گروه ها با استفاده از پایاهای (کو)همولوژیکی‏، چون نقش موثری در مطالعه ی خواص (کو)همولوژیکی گروه دارند‏، سالهاست که مورد توجه ریاضی دانان قرار گرفته است. پایای کوهمولوژیکی که توسط گدریخ ‎ و گرونبرگ ‎معرفی شد‏ه اند‏‏. ‎‎ splig‎‎‏سو‎‎‏پریمم بُعد تصویری ‎‎‎g‎‎‎‏ -مدول های تزریقی و silp‎g‎‎‎‎‏‎ سوپریمم بُعد تزریقی‎‎‎‎g‎‎‎‏ -مدول های تصویری می باشند. ‏مادراین پایان نامه نشان می دهیم که گروه ‎‎‎‎g‎ متناهی است اگر و تنها اگر هر ‎g‎‎‎‎‎ -مدول ‏تزریقی دارای بُعد تصویری یک باشد. ‎ هدف دیگری که در این پایان نامه مورد مطالعه قرار می گیرد‏، توصیف هایی برای گروه های ‏به طور موضعی متناهی با استفاده از مدول های تزریقی است. نشان می دهیم که گروه ‎g به طور موضعی متناهی است اگر و تنها اگر‎tor‎^{z‎g}‎_{1}(m,i)=0‎ ‎‏برای هر ‎g ‏مدول‏ تزریقی ‎‎‎ ‎‎‎i‎‎‎و ‎‎‎‎g‎‎‎‏‎ -مدول ‎‎‎‎m‎‎ که به عنوانz‎ -مدول آزاد است. در آخر‏، متناهی بودن یک گروه ‎g‎‎‏‎ که با تولید متناهی است را به متناهی بودن بُعد تزریقی مدول های القایی مربوط می کنیم. همچنین رابطه بین متناهی بودن گروه g‎ و متناهی بودن بُعد تصویری مدول های هم القایی را مورد مطالعه قرار می دهیم. ‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎}