در این پایان نامه به بررسی رویه های خط کشی شده می پردازیم که در فضای اقلیدسی با بعد چهار نشانده شده اند. برای این منظور انحنای گاوسی و انحنای متوسط یک رویه پارامتری شده در فضای اقلیدسی با بعد چهار محاسبه و مثال ویژه ای از رویه خط کشی شده در e^4‎ ارائه خواهد شد. بعلاوه نشان داده می شود که تنها رویه های خط کشی شده مینیمال در ‎ e^4 همان تعمیم رویه های خط کشی شده در ‎e^4‎، یعنی رویه های مارپیچی راستگرد هستند. در ادامه کنج فرنه در فضای ‎e^4‎ مشخص و انحنای گاوسی برای چند رویه ی پارامتری شده محاسبه می شود. همچنین روابطی بیان خواهند شد که توسط آنها تعیین می شود که نقطه ی ‎ p ‎ از رویه ی خط کشی شده در ‎e^4‎ داخل، خارج و یا روی بیضی انحنا قرار دارد. به علاوه باتوجه به تعریف بیضی انحنا تعریفی برای رویه های ابرهمدیس ارائه می شود و شرط لازم و کافی برای اینکه رویه ی پارامتری شده، ابرهمدیس باشد اثبات خواهد شد. همچنین شرط لازم و کافی برای اینکه رویه خط کشی شده در (n>3)‎‎ ‎e^(n )‎ یک رویه چن باشد بیان می شود. در انتها شرط دیگری ارائه می شود که در آن بیضی انحنا دایره شود و یک رویه ابر همدیس مشخص