در این پایان نامه اعداد تاکسی کب و کب تاکسی و برخی از خواص آنها معرفی می شوند و الگوریتمی جهت محاسبه اعداد تاکسی کب جدید و کمینگی آنها ارائه می شود و به ارتباط این اعداد با خم های بیضوی و محاسبه رتبه خم بیضوی پرداخته می شود، که در آن . نشان می دهیم که معادله دیوفانتی دارای جواب است اگر و فقط اگر خم بیضوی بالا دارای رتبه مثبت باشد.