در این پایان نامه ، ابتدا قضیه نگاشت باز را برای فضاهای پارانرم ثابت کرده و به کاربرد آن می پردازیم، از جمله اثبات جدیدی برای باز بودن نگاشت تحلیلی غیر ثابت ارائه می دهیم. در ادامه، مفهوم مجموعه نگاشت های ‎pa(r,r)$‎ و (pl(x,yو pl(x,y )‎ را تعریف می کنیم که در واقع مجموعه (pl(x,y ‎‎ توسیعی از مجموعه نگاشت های خطی می باشد.سپس قضیه نگاشت باز برای مجموعه نگاشت های(‎ pl(x,y که مستقل از خواص پیوستگی و خطی می باشند، بیان و ثابت می شود. در نهایت مفهوم قضیه نگاشت تقریبا باز در‎‎0 ‎? x‎ را تعریف کرده و نشان می دهیم هرگاهx‎و y‎ فضای پارانرم جدایی پذیر بوده، نگاشت ‎ f:x?? y‎ در خواص مربوط به‎ pl(x,y )‎ صدق کند و در نقطه‎‎0 ‎ ‎? x‎ تقریباً باز باشد، آنگاه‎ f‎باز است .