این پایان نامه ادامه مطالعه گراف ایده آل پوچساز حلقه های جابجایی معرفی شده در [6] می باشد. فرض کنید r یک حلقه جابجایی با a(r) مجموعه ایده آل ها با پوچساز غیر صفر و z(r) مجموعه ای از مقسوم علیه های صفر باشد. گراف ایده آل پوچساز حلقه r به عنوان گراف (بی جهت) ag(r) که رأس های آن a(r)* = a(r) {(0)} تعریف می شود که در آن برای تمام رأس های مجزای i و j، i—j یک یال است اگر و تنها اگر ij = 0. در ابتدا قطر گراف ag(r) مورد مطالعه قرار می گیرد. یک توصیف کامل برای قطر، به طور منحصر به فرد در روابط ایده آل های r داده می شود هنگامیکه، یا حلقه r یک حلقه نوتری باشد یا z(r) یک ایده آل از حلقه r نباشد. سپس، رنگ آمیزی گراف های ایده آل پوچساز مورد مطالعه قرار می گیرد و همچنین ?(ag(r)) ? 2 یا حلقه r تقلیل یافته و?(ag(r)) ? ? را مشخص می کنیم. این نتایج نشان می دهند که برای هر حلقه تقلیل یافته r، ?(ag(r)) = cl(ag(r)). علاوه بر این، اگر ?(ag(r)) متناهی باشد، آن گاه حلقه r تعداد متناهی ایده آل اول مینیمال دارد و اگر n این عدد باشد، آن گاه ?(ag(r)) = cl(ag(r)) = n. در آخر، نشان داده می شود که برای یک حلقه نوتری r، cl(ag(r)) متناهی است اگر و تنها اگر برای هر ایده آل i از r با i^2=0، i تعداد متناهی r – زیر مدول داشته باشد.