در این پایان نامه، برای حل مسأله مقدار مرزی مرتبه چهارم در حالت خطی و غیرخطی به بحث در مورد روش گالرکین با استفاده از توابع پایه سینک می پردازیم. روش سینک را بر پایه هر دو نوع تبدیل نمایی یگانه و دوگانه برای شرایط مرزی همگن و ناهمگن به کار خواهیم برد. همگرایی روش را به صورت تحلیلی بررسی کرده و نشان می دهیم مرتبه همگرایی مبتنی بر تبدیل نمایی یگانه به صورت o(e^(-k?n) ) می باشد، و هم چنین مرتبه همگرایی مبتنی بر تبدیل نمایی دوگانه به صورتo(e^((-kn)?logn) ) است، که در آن k مستقل از n می باشد. در نهایت با حل چند مثال از مسأله مقدار مرزی دقت و کارایی و هم چنین نمایی بودن مرتبه همگرایی روش را به صورت عددی بررسی می کنیم.