‏معادلات‎ دیفر‎‏انسیل با مشتقات کسری‏، در بسیاری از مسائل کاربردی در علوم مختلف ظاهر می شوند‏. از طرفی با پیشرفت های سریعی که علم دارد‏، روز به روز مسائلی پیچیده تر و حساس تری مطرح می شوند که باید در یک زمان کوتاه‏، حل‏ و تجزیه و تحلیل شود‏، به همین دلیل ریاضیدانان و دانشمندان در پی پیدا کردن روش های سریع و بهینه هستند‏، مانند روش هایی چون سری های فوریه‏، موجک ها‏، هموتوپی ها‏، درونیابی ها‏، برونیابی ها و غیره‏، که هر یک از این روش ها دارای خواص و ویژگی های مخصوص به خود هستند‏، و از همه مهمتر سرعت محاسباتی آنها با یکدیگر متفاوت می باشند‏، به عنوان مثال‏، تقریب توابع با استفاده از سری فوریه سریع‏، برای ‎n‎‏ نقطه از مرتبه ‎o(nlogn)‎‎‎‎‎‏ می باشد‏، که سرعت نسبتا خوبی است ولی زمانی که مقدار ‎n‎‎‎‎‎‎‏‏، نمایی باشد‏، مثلا ‎‎n‎=2^n‎‎‏‏، مسئله به مشکل برخورد کرده و مرتبه ‎o(2^nn)‎‎‎‎‎‏ می باشد.‎ ‎با بوجود آمدن سیستم محاسباتی جدیدی به نام ‎{محاسبات کوانتومی}‎‏، بسیاری از مشکلاتی که به دلیل سرعت در پیش رو ریاضیدانان بود‏، برطرف شده است‏، چون اثبات شده است که محدودیت سرعتی که در محاسبات کلاسیک وجود دارد‏، در محاسبات کوانتومی وجود ندارد‏، به عنوان مثال‏، همان تجزیه فوریه بالا‏، با ‎‎n‎=2^n‎‎‎‎‎‏ نقطه در محاسبات کوانتومی با مرتبه ‎o(n^2)‎‏ انجام می شود.‎در این پایان نامه الگوریتمی کوانتومی با سرعتی بسیار بالا بیان می کنیم که در حل دستگاه ax=b به ما کمک می کند.‎