فرض کنید r یک حلقه جابجایی و (a(r مجموعه ایدآل هایی از rباشد که پوچساز آن ها ناصفر است. گراف ایدآل های پوچساز یکدیگر r بصورت ( a(r نشان داده که مجموعه رأس های آن {(a(r)*=a(r)-{(0)} بوده و دو رأس متمایزi و jمجاورند اگر ij=(0). در این پایان نامه حلقه های جابجایی را بررسی می کنیم که گراف ایدآل های پوچساز آن ها دارای گونای متناهی و مثبت باشد. در حالتی که r حلقه ای آرتینی بوده وag(r)) ℵ) <∞، نشان داده می شود که یا r فقط تعداد متناهی ایدآل دارد و یا (r,) حلقه ای گرنشتاین بوده v:dim r μ/μ2 = 2 . همچنین برای هر دو عدد صحیح g ≥ 0 و q>0 نشان داده می شود که تعداد متناهی رده های یکریخت از حلقه های آرتینی مانند rوجود دارد بطوریکه برای هر ایدآل ماکسیمال μ از r داریم ℵ (ag(r)) = g and (ii)j r/μ ≤q|. بعلاوه اگرr حلقه ای موضعی، نوتری باشد که حوزه صحیح نبوده و (ag(r)) < ∞، آنگاه یا r حلقه ای گرنشتاین است و یا r حلقه ای آرتینی با تعداد متناهی ایدآل است.