ماتسوموتو وایمایی یک الگوریتم متقارن جدید بر مبنای چند جمله ای های چند متغیره درجهت و روی میدان متناهی را شرح دادند، که بعدا شکسته شد. معادله میدان مخفی hfe یک سیستم رمز کلید عمومی است که در سال 1996 توسط پاترین ارائه شد که از ایده ماتسوموتو وایمایی پیروی کرد. در این پایان نامه، ما وجود سیستم های رمز چند متغیره از خانواده hfe را مرور و شرح می دهیم. این تحلیل رمز، سیستم های رمز خانواده hfe را با اسستفاده از حل دستگاه های چند متغیره از معادله ها می شکند. در این پایان نامه، ما یک جمله جدید و موثر بر روی این سیستم رمز، بر مبنای محاسبه پایه گروبنر با الگوریتم های سریع را ارائه می دهیم. ما همچنین خواص جبری معادله های بدست آمده به وسیله مثال هایی از رمزhfe رااز دیدگاه تئوری بحث می کنیم. بعلاوه می توانیم درجه ماکزیمال چند جمله ای های رخ داده در پایه گروبنر را محدود کنیم.