مفهوم دیفرانسیل، نقش مهمی را در بهینه سازی و آنالیز محدب بازی می کند. اگرچه این موضوع در دهه های اخیر، روی فضاهای خطی بررسی شده است، ولی پژوهش روی آن، در فضاهای غیر خطی در مراحل اولیه است. برای گسترش آنالیز محدب و بهینه سازی روی فضاهای غیر خطی،اشیاع هندسی مانند ژئودزیها به کار گرفته می شوند. این کار به هندسه ی متری منجر می شود که یک زمینه ی در دست بررسی در ریاضیات معاصر است. فضاهای cat(0)، فضاهای غیر خطی هستند که از برخی جهات مشابه فضاهای هیلبرت رفتار می کنند. این فضاها را فضاهای آدامار با خمیدگی نامثبت در مفهوم الکساندروف می نامند. مفهوم تحدب، زیردیفرانسیل و فضاهای دوگان برای آن فضاها تعریف شده اند. در این رساله پس از بیان مقدماتی از هندسه ی متری، مفاهیم تحدب مجموعه ها و توابع مطرح شده نقاط و مجموعه های راسی در فضاهای آدامار بررسی می شوند. نسخه ای از قضیه ی کرین-میلمن برای فضاهای آدامار اثبات می گردد. در سومین فصل، سه فضای دوگان بررسی می شوند. با متوسل شدن به این دوگانها زیردیفرانسیل ها تعریف و مطالعه می شوند. فصل چهارم، به نظریه ی مزدوج و ساخت یک مساله ی دوگان برای مسائل بهینه سازی اولیه اختصاص دارد که دارای خاصیت دوگانی ضعیف است.