: مدول m را بالابرنده گوییم، اگر برای هر زیرمدول x از m، جمع‏وند مستقیمی از m وجود داشته باشد که زیرمدول هم‏اساسی x است. در این پایان‏‏نامه که در سه فصل تنظیم شده است، پساز معرفی برخی از مدول‏ها و حلقه‏ها از جمله حلقه‏های کامل، به بررسی رفتار مدول‏های بالابرنده روی حلقه‏های کامل می‏پردازیم. در این راستا نشان می‏دهیم که اگر r کامل باشد، هر r-مدول تصویری بالابرنده است. هم‏چنین ثابت می‏کنیم که هر جمع‏وند موضعی از یک مدول بالابرنده تصویری، یک جمع‏وند مستقیم است. پس از اثبات چندین لم کاربردی، ثابت می‏کنیم که اگر rحلقهکامل باشد، هر جمع‏وند موضعی از یک r-مدول بالابرنده یک جمع‏وند مستقیم است. در پایان نتیجه می‏گیریم که هر مدول تصویری روی یک حلقه‏ی کامل، دارای خاصیت تبادل است.

فرض می کنیم m وn، r- مدول های راست باشند، و می گوییم m وn- پروژکتیو است اگربرای هرr-مدول هم ریختی پوشایk f: n? وr- مدول هم ریخی k g: m?، r- مدول هم ریختی h:m?n موجود باشد به طوری که foh=g. ازنمادهای r-mod و r-mod ss استفاده می کنیم که به ترتیب به معنای کلاس تمامی r- مدول های راست و کلاس تمامی r- مدول های راست نیم ساده می باشند. هم چنین دامنه پروژکتیوی r- مدول های راست m را به صورت زیر تعریف می کنیم : p^(-1) (m)={n?mod-r?پروژکتیواست-n مدول-rیک m} مشاهده می کنیم که (m) ss mod-r?p^(-1)است، واضح است که r- مدول راست m پروژکتیو است اگر و تنها اگرmod-r = (m)p^(-1). هم چنین r- مدول راست m را -poorپروژکتیو می نامیم هرگاه ss mod-r = (m)p^(-1). ما نشان می دهیم که برای هر حلقه، r- مدول راست -poorپروژکتیو (نیم ساده) وجود دارد. حلقه rرا pci- حلقه راست می نامیم هرگاه هر r- مدول راست سره دوری از حلقه r، انژکتیو باشد. (؛یعنی، r- مدول های دوری با r یکریخت نیستند). یک pci- حلقه راست که نیم ساده آرتینی نباشد، pci- دامنه راست می نامیم. ما نشان می دهیم که اگرr، pci- حلقه راست که حلقه تقسیم نباشد، آن گاه r- مدول راست e(r)، -poorپروژکتیو است و در نهایت حلقه هایی را که هر مدول روی آن ها، پروژکتیو و یا -poorپروژکتیو است مشخص می کنیم که این حلقه ها را بدون p- کلاس میانی راست می نامیم. در حقیقت ما می بینیم که اگر rیک حلقه بدون p- کلاس میانی راست باشد، آن گاه rبه صورت حاصلضرب یک حلقه نیم ساده آرتینی و یک حلقه k است که حلقه k یا صفر است ویا یک حلقه تجزیه ناپذیر که در یکی از شرایط زیر صدق می کند : (1) k حلقه نیم اولیه و si- حلقه راست با0 j(k)? (2) k حلقه نیم اولیه با0=j(k)? (k) = z_r(soc(k_k (3) k حلقه اول با 0= (soc(k_k و0 = j(k) یا(k) j_k و ?j(k)?_k نامتناهیا مولد است. (?) k حلقه نیم اول و si- حلقه با ساکل راست نامتناهیا مولد است.