در این پایان نامه ساختار گراف های کیلی یکانی براساس عدد خوشه ای، عدد رنگی رأسی و یالی، عدد همبندی، مسطح بودن و تقاطع یالی نشان داده شده است. در ادامه یک رابطه بین گراف های کیلی یکانی و گراف های کیلی یکانی جمعی بیان می شود. انرژی گراف در سال 1970 توسط ایوان گوتمن معرفی شد که کاربردهای زیادی در علوم نانو و شیمی دارد. فرض می کنیم {?_1,?_2,…,?_n } مجموعه همه مقادیر ویژه گراف g باشد در اینصورت انرژی گراف g با رابطه ?_(i=0)^n?|?_i | =(g)? بدست می آید. گراف g از مرتبه n ابرانرژی نامیده می شود، هرگاه انرژی آن از انرژی گراف k_n بیشتر باشد یعنی ?(g)>2n-2. می توان دید گراف کیلی یکانیg_n ابرانرژ‍ی است اگر و فقط اگر دو عامل اول بزرگتر از 2 یا سه عامل اول متمایز داشته باشد. همچنین نشان داده می شود که گراف نسر k_(n:r) برای عدد طبیعی n و r?2 با n?2r+1 ابر انرژی است.