نقاط کارای محض و فوق کارا از مفاهیم اصلی در بهینه سازی برداری هستند, که برای تعمیم و گسترش نقاط کارا معرفی شده اند ‎ در‎ سال 1953 ارو,‎‎‎‎ بارانکین‎‎‎‎ و بلکول‎‎‎‎ قضیه مهمی به نام (‎‎(abb را به صورت زیر اثبات کردند: فرض کنید ‎‎‎‎a‎‎ مجموعه ی غیرتهی و فشرده از یک فضای اقلیدسی باشد. در این صورت نسبت به مخروط ناحیه ی نامنفی, مجموعه نقاط کارای محض در نقاط کارای a‎ چگال می باشند. بعد از آن, این قضیه در زمینه های مختلف و براساس فرض های مختلف مورد بررسی قرار گرفته است. مثلا, اگر مجموعه ی ‎a‎ محدب نباشد, نتایج چگال بودن در قضیه (‎‎(abb‎ برای نقاط کارای محض هنیگ‎‎‎‎‎‎‎ و در مجموعه نقاط فوق کارا بدست می آید‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎.‎ همچنین با توجه به قوی بودن فرض فشردگی بعضی از محققین به جای فشردگی از فشردگی ضعیف استفاده کرده اند. در این پایان نامه هدف جایگزین کردن فرض فشردگی با فرض بسته و کرانداری مجموعه است. و همچنین در این پایان نامه, در تلاش هستیم, یک تکنیک اساسی روی مفهوم فشردگی به نام فشردگی نسبت به مخروط, برای وجود و چگال بودن کارایی محض بدست آوریم. این پایان نامه مشتمل بر پنج فصل است.فصل اول دارای سه بخش است. در بخش اول مفاهیم اولیه و مقدمات مورد نیاز در فصل های بعد, از قبیل مفاهیم توپولوژیک و قضایای کلیدی مانند قضیه جداسازی هان-باناخ را بیان می کنیم. در بخش دوم به تعریف مخروط, پایه مخروط و دوگان مخروط و... می پردازیم.در بخش سوم مخروط های بیشاپ-فلیپس را معرفی می کنیم. ‎در فصل دوم, ابتدا در بخش اول مخروط های نرمال و فوق نرمال را معرفی می کنیم. در بخش دوم به بیان نقاط کارای محض مثبت, فوق کارا و...می پردازیم. همچنین, روابط بین این نقاط را در گزاره هایی اثبات می کنیم. در بخش سوم خاصیت ‎‎‎(abb)‎‎‎‎‎‎‎ را بیان و یک قضیه مهم که معادل بودن این خاصیت با فوق نرمال بودن مخروط است‎‎, را ارائه می دهیم. در فصل سوم, فشردگی یک مجموعه نسبت به یک مخروط را تعریف و یک مفهوم جدید به نام "به طورقوی فشردگی نسبت به مخروط‎‎``‎‎‎‎‎را ارائه می دهیم. و نیز در مورد وجود یا عدم وجود این مجموعه ها در فضای ‎‎r‎‎ به ارائه چند گزاره می پردازیم. در فصل چهارم, سه قضیه مهم و اصلی برای وجود نقاط کارای محض مثبت, نقاط فوق کارا و نقاط کارای محض ه‎‎نیگ را بیان و اثبات می کنیم. در نهایت در فصل پنجم, قضیه مهمی که هدف اصلی این پایان نامه است را ارائه می کنیم, در این قضیه که قضیه چگال نامیده می شود, ثابت می کنیم که در یک فضای باناخ مجموعه نقاط کارای محض هنیگ یک مجموعه ی ‎‎‎‎k‎‎‎-فشرده تحت شرایط معینی در مجموعه نقاط کارا چگال می باشد. همچنین نتیجه مشابهی در مورد نقاط کارای محض مثبت برقرار است.