گرافین، یک نانو صفحه ی کربنی با ساختار لانه زنبوری است که در سال 2004 از گرافیت جداسازی شد. این تک لایه بخاطر طیف شبه نسبیتی و ویژگی های الکترونیکی از اهمیت بالایی برخوردار است و در سال های اخیر فرصت های تازه ای در زمینه ی پژوهش ها و کاربردهای عملی مرتبط با فناوری نانو فراهم نموده است. طیف الکترونی گرافین بدون گاف بوده و نوارهای رسانش و ظرفیت در گوشه های ناحیه ی اول بریلئون، که به آنها نقاط دیراک گوییم، بهم می رسند. برای برانگیختگی های کم انرژی نزدیک نقاط دیراک، طیف گرافین شبیه معادله نسبیتی دیراک برای ذرات بدون جرم می شود. از این رو با توجه به خطی بودن رابطه ی طیف انرژی در گرافین با تکانه، می توان از معادله ی دیراک و نتایجش در گرافین استفاده کرد. در این پایان نامه ابتدا به مرور طیف الکترونی گرافین می پردازیم و ساختار نواری گرافین را با استفاده از تقریب تنگ بست مورد بررسی قرار می دهیم. چگالی حالات در گرافین را مطالعه می کنیم و به بحث درباره ی درجات آزادی حامل های بار در گرافین می پردازیم. بررسی تونل زنی الکترون ها از سد و پله ی پتانسیلی در گرافین را مورد توجه قرار می دهیم و به بحث درباره ی مشاهده ی یکی از پدیده های نسبیتی در گرافین، تونل زنی کلین، می پردازیم و آن را مرور می کنیم. همچنین، بحث اپتیک الکترونی در گرافین را مورد مطالعه قرار می دهیم که مربوط به کنترل امواج الکترونی در گرافین می شود و نشان می دهیم که این عبور الکترونی همانند پدیده ی شکست منفی در متامتریال های چپگرد است. متامتریال ها موادی ساخته ی دست بشر هستند و ویژگی های منحصر بفردشان را از ساختارشان بدست می آورند. یک دسته از این مواد که به آن ها متامتریال های چپگرد می گوییم، بدلیل ضریب شکست منفی خواص اپتیکی آن ها از قبیل اصل فرما، اثر دوپلر، تابش چرنکوف و ... متفاوت با مواد راستگرد می شود که بطور مفصل در این تحقیق روی آن بحث کرده ایم.