در این پایان نامه به مطالعه تقریب توابع پیوسته در فضاهای باناخ می پردازیم. ماابت می کنیم که اگر x یک فضای باناخ بینهایت بعدی با فضای دوگان تفکیک پذیر x* باشد آنگاه هر تابع پیوسته f:x?ir را می توانیم به طور یکنواخت توسط تابعی هموار از رده c1 تقریب بزنیم که هیچ نقطه بحرانی نداشته باشد. ما همچنین شرایطی را روی فضای باناخ تفکیک پذیر x ایجاد می کنیم تا بتوان تابع تقریب زننده را هموار از رده ی cp برای p?{n}?{?} اتخاذ کرد. و یکی از نتایج مهم آن عبارت است از : هرگاه x یک فضای باناخ بینهایت بعدی با دوگان تفکیک پذیر x0 باشد آنگاه مجموعه تمام توابع حقیقی مقدار هموار از مرتبه c1 روی x که هیچ نقطه بحرانی نداشته باشند در فضای توابع پیوسته حقیقی مقدار روی x چگال است.