این پایان نامه، نمایشی از توسعه ریاضیات برای زیرساختارهای آناتومی عصبی مغز می باشد. تمرکز این پایان نامه روی تغییرپذیری آناتومیک عصبی از نظر هندسه و شکل رویه های دو بعدی در مغز می باشد. به عنوان مثال، ما بر روی رویه های کرتکس و هیپوکمپوس در یک جمعی از ‎ mri مغز انسان تمرکز می کنیم. شکل زیر ساختارها توسط ساخت الگوها مشخص می شوند و تغییرات با تعریف تغییرات احتمالی الگو نمایش داده می شوند. روش هایی برای تخمین تجربی اندازه های احتمالی روی این تغییرات، با استفاده از تغییرات میدان های برداری تصادفی گاوسی روی زیر منیفلدهای نشانده شده توسعه یافته است. میدان های برداری تصادفی گاوسی به صورت حد میانگین پایه متعامد کامل روی زیرمنیفلدها ساخته می شوند. کوواریانس، به طور تجربی از مجموع داده های مغز برآورد می شود. تحلیل مولفه اصلی برای مشخص کردن شکل-ویژه هیپوکمپوس، در تعدادی از تصاویر‎ $ mri $ کل مغز ارائه می شود. خوشه بندی بر مبنای شکل ویژه، برای دو گروه افراد نرمال و شیزوفرنی ارائه می شود.‎