پنتوگراف نام دستگاهی است که انرژی الکتریکی قطارهای برقی را تامین می کند وهم چنین در مسائلی چون پل های معلق، نگه دارنده نورافکن های متحرک کاربرد دارد. مدل سازی ریاضی پنتوگراف به یک معادله دیفرانسیل منجر می شود که به نام معادله دیفرانسیل پنتوگراف است.در این پایان نامه قصد داریم به بررسی برخی روش های حل عددی معادله پنتوگراف بپردازیم.نخست با استفاده از روش گالرکین وسپس بایک روش پیشنهادی که بر پایه بسط دادن توابع موجود در معادله پنتوگراف با کمک ترکیب خطی چندجمله ای لژاندر می باشد، معادله پنتوگراف را حل می نماییم. هم چنین برای روش پیشنهادی فرمول خطا رابرآورد می کنیم.در آخر دو روش مذکور رابا کمک چندین مٍثال ارزیابی و مقایسه می نماییم.