قضیه هان باناخ بیان می دارد که برای یک تابعک خطی تعریف شده روی زیرفضای m از یک فضای خطی نرم دار مانند e، حداقل یک توسیع حافظ نرم به تمام فضای e وجود دارد. بحث اصلی این پایان نامه، مطالعه زیرفضاهایی است که این توسیع برای آنها یکتا است. به این زیرفضاها، زیرفضاهایی با خاصیت u یا زیرفضاهای باناخ هموار گویند. اگرچه خاصیت u توسط فلپس [41] در سال 1960 معرفی شد، اما پیش از آن تیلور [52] و فوگل [11] نشان داده بودند که هر زیرفضای x خاصیت u را دارد اگر و تنها اگر x* اکیدا محدب باشد. این نتیجه کلاسیک، نمونه ای بارز از اکثر نتایج در مورد خاصیت u در فضای x می باشد (مراجعه شود به [41] و [49]) به این معنی که این نتایج در فضای دوگام x* تعبیر هندسی شده اند. به عنوان مثال، یکی از محک های معروف در ارتباط با وجود این خاصیت این است که y دارای خاصیت u است اگر و فقط اگر پوچساز آن یعنی یک زیر فضای چپیشف x* باشد. خاصیت دیگر که برای مدت زیادی مورد توجه بوده، بهترین تقریب یکتا است که ما آن را خاصیت هار می نامیم. این خاصیت بیان می دارد که برای هر x ? e، یک y یکتا در m وجود دارد که یک تناظر پایه ای و جالب بین این دو خاصیت این است که زیرفضای m واجد خاصیت u است اگر و تنها اگر پوچساز m، یعنی در e* خاصیت هار را داشته باشد (در هر حال، مثال هایی ارائه خواهیم داد که نشان می دهند در اظهارات فوق، کلمات «خاصیت u» و «خاصیت هار» در حالت کلی نمی توانند جابه جا شوند). قضیه تیلور-فوگل در بالا نتیجه فوری این قضیه است و در حقیقت فضاهای اکیدا محدب دقیقا همان هایی هستند که هر خط گذرنده از مبدا خاصیت هار دارد. با مورد توجه قرار دادن بعد زیرفضاهای محدب اکسترمال مشخص از کره واحد در e* [در e]، این شرط لازم را بدست می آوریم که یک زیر فضای متناهی البعد [با هم بعد متناهی] دارای خاصیت u است [دارای خاصیت هار است]. در حالت خاصیت u این قضیه دقیق است. برای فضاهای خاص مشخص، شرط بیان شده در قضیه، خاصیت u که برای زیرفضاهای متناهی البعد بیان می شود را دسته بندی می کند. در حالت خاصیت هار این قضیه به ما امکان می دهد نتیجه بگیریم که به عنوان مثال فضاهای c0 و l1|0,1| هیچ زیرفضای دارای خاصیت هار، با هم بعد متناهی ندارند. قسمت اخیر دلیل اینکه l1|0,1| هیچ زیر فضای هار متناهی البعد ندارد را کامی می کند. در این پایان نامه با ارائه قضیه ای [48]، شرطی کافی برای زیرفضاهای متناهی البعد جهت حصول خاصیت هار را بدست می آوریم. همچنین نشان می دهیم در حالتی که فضای e، ایده آل بسته در c(t) (tفشرده و هسدورف) است، این شرط، شرطی لازم نیز می باشد. از این طریق، یک توسیع برای قضایای هار کلاسیک [16] به c0(t) (t موضعا فشرده و هاسدورف) پیدا می کنیم. این مبحث در فصل دوم به چهار قسمت تقسیم شده است. در قسمت اول به بیان قضایایی در مورد فضاهای نرم دار کلی پرداخته و در قسمت دوم و سوم به استفاده اصولی از این قضایا، برای فضای تابعک های انتگرال پذیر و فضای توابع پیوسته می پردازیم. بسیاری از نتایج این دو قسمت را در یک جدول ارائه خواهیم داد. قسمت چهارم و آخر، نکاتی درباره کاربرد و مسائل حل نشده را در بر دارد. مفهوم نقاط اکستریم (و قضیه کرین میلمن) نقش مهمی را در این مبحث ایفا می کند. به طور خاص، کاربردهای قضایای به فضاهای خاص e، استفاده قابل توجهی از رده بندی نقاط اکستریم کره واحد e* می سازد. در سال 1983، لیما [24] نتیجه زیر را اثبات کرد. قضیه: اگر y یک زیرفضای بسته فضای باناخ x باشد، احکام زیر معادل اند: الف) y واجد خاصیت u در x است. ب) برای هر ، هر و هر دنباله در y که ، و ، و وجود دارند که . به نظر می رسد قسمت ب از قضیه لیما، تاکنون تنها شرط معادل شناخته شده برای اینکه y دارای خاصیت u در x باشد، است که از نام بردن فضای دوگان x* پرهیز می کند. در این پایان نامه، تعدادی مشخص سازی هندسی از خاصیت u در x که از x* استفاده نمی کند را ارائه می دهیم. به عنوان مثال y واجد خاصیت u در x است اگر و تنها اگر برای هر و هر دنباله از گوی های باز در x با مرکزهایی در y و شعاع بینهایت بار صعودی به طوری که ، موجود باشد که . این مشخص سازی ها به ما امکان می دهد تا در فصل سه ثابت کنیم که تحدب اکید فضای دوگان x* معادل با این حقیقت است که اجتماع از گوی های باز مشخص در x همواری یک نیم فضای باز است. این مربوط به محک همواری x بوسیله محک همواری و هم چنین مربوط به محک تحدب اکید x* بدست آمده در [53] است. در این پایان نامه، بخشی نیز برای مطالعه فضاهای باناخ دارا خاصیت u در دوگان های دومشان اختصاص داده شده است. در واقع نشان می دهیم این موضوع به طور جداگانه مشخص شده است. خواهیم دید یک فضای باناخ x خاصیت u درy** را داشته باشد. برای فضاهای باناخ x و y، فضای باناخ همه ی عملگرهای خطی پیوسته از x به y را با l(x,y) و زیر فضای عملگرهای فشرده از آن را با k(x,y) نشان می دهیم. در فصل چهار نشان می دهیم x خاصیت u را در دوگان دوم خود یعنی x** دارد هرگاه فضای باناخ z و یک تابع پوشای وجود داشته باشند که k(z,x) خاصیت u را در اسپن خطی k(z,x) و q داشته باشد. این یک کاربرد از مشخص سازی هندسی خاصیت u حاصل شده در بخش اول است. هم چنین بر اساس مستندات در بخش سه ثابت می کنیم x خاصیت u در x** را داراست هرگاه خاصیت u در برای برخی فضای به همراه نرم معادل با نرم داشته باشد. زیر مجموعه ای از زیر فضاهای با خاصیت u وجود دارد که رده m- ایده آل ها نامیده شده است ([34]). در واقع، زیرفضای y از x یک m- ایده آل در x نامیده می شود هرگاه مکمل زیرفضای بسته ای مانند g در x* باشد به طوری که برای هر که و داشته باشیم: .