دراین پایا ن نامه کارهای لوییس،لوک ومالیک را توسعه داده ونتایج آنهارا روی مخروطهای نرمال یاحداقل یک مجموعه از ابرمنتظم ها بررسی کرده به گونه ای که نه فقط در مورد زیر فضاهای خطی بلکه برای هر دو فضای محدب وبسته که رابطه ی تلاقی درونی هایشان بسته است برقرار میباشد.همچنین مجموعه های محدب وخواص آنها واجتماع آنها را بررسی می کنیم .ابزار مورد نیاز مخروط نرمال تحدید شده می باشد.