هدف، نمایش احتمالی تابع چگالی احتمال و تابع مشخصه با گشتاورهای کسری از مرتبه مختلط می باشد. نشان داده خواهد شد که چنین گشتاورهای مختلطی با انتگرال های کسری ریس و انتگرال های کسری ریس مکمل در مبدا ارتباط دارند. با کمک قضیه تبدیل ملین معکوس ، تابع چگالی احتمال و تابع مشخصه با فرم انتگرالی ، به صورت گشتاورهای کسری مختلط برآورد می شوندوهمچنین گسسته سازی، بازیابی تابع چگالی احتمال و تابع مشخصه را با تعدادی از گشتاور های کسری ممکن می سازد. کاربرد عمده آن، برای مشخصه سازی متغیر تصادفی ? – پایدار، که با جزئیات بحث شده است، نشان دهنده قابلیت شگفت انگیز مشخصه سازی متغیرهای تصادفی با گشتاور های کسری است.