برای زیرمجموعه ی a از فضای متری (x,d)، یک ?-توسعه نسبت به متر d به این صورت تعریف می شود a^?:= {x ? x : d(x,a) <?{ زیرمجموعه a از x کراندار نامیده می شود هر گاه برای یک x ? x و r>0 داشته باشیم a ? {x}^r. همچنین، a کراندار کلی نامیده می شود، هر گاه برای هر ?>0، یک زیرمجموعه ی متناهی f از x وجود داشته باشد به طوری که a ? f^?. زیرمجموعه های d-کراندار از x را با bd(x)و زیرمجموعه های d-کراندارکلی x را با tbd(x)نمایش می دهیم.گاهی این دو خانواده بر هم منطبق میشوند، مثلا در فضای اقلیدسی متناهی بعد. در این پایان نامه دو سوال مهم واساسی را بررسی خواهیم کرد. 1)چه زمانی مترp هم ارز با d وجود دارد به طوری که bd(x) = tb?(x)؟ 2)چه زمانی متر p هم ارز با d وجود دارد به طوری که tbd(x) = b?(x)؟ هر دو سوال جواب های قابل ملاحظه ای دارند. برای حل سوال یک، دو روش جداگانه رابه کار می بریم که در یکی از آنها از قضیه ی نشاندن طبیعی برای فضای متری تفکیک پذیر x، به توی فضای دنباله ای r^n، مجهز به توپولوژی حاصل ضربی، استفاده می کنیم. در مورد سوال دو نیز ما یک اثبات قدیمی را با افزودن شرایطی تکمیل می کنیم. همچنین، نشان می دهیم که خانواده ی متشکل از زیرمجموعه های کراندار کلی فضای متری x، تشکیل یک بورنولوژی می دهند. یعنی، تحت گرفتن اجتماع متناهی و گرفتن زیرمجموعه بسته هستند و پوششی برای فضای متری x، تشکیل میدهند و سرانجام، با دو روش متفاوت نشان می دهیم، کدام بورنولوژی ها بر روی فضای مترپذیرx، بورنولوژی هایی از مجموعه های کراندار کلی هستند. روش اولی مستلزم وجود یک نوع خاص از نشاندن است در حالی که دومی بر اساس دنباله ی نرمال سازگار حل شده است. برای رسیدن به اهداف فوق، به ارائه مفاهیمی چون ساختارهای کرانداری متری، مدهای متری همگرابه بی نهایت، توابع تحمیلی و گسترش تک -نقطه ای می پردازیم و خواص مجموعه های کراندار کلی را بیان می کنیم.