در این رساله یک الگوریتم کارا برای حل تقریبی معادلاتpde ارایه می شود. این الگوریتم ترکیبی، اسپلاین هم مکانی از درجه دوم (qsc) را برای گسسته سازی متغیر فضایی بکار می برد و همچنین از روشهای تفاضلات متناهی (fdms) از جمله روش کرانک- نیکلسون برای گسسته سازی زمان استفاده می کند. با ترکیب qsc و روشهای تفاضلات متناهی، شکل جواب تقریبی مساله را در هر گام زمانی می توان بدست آورد. دو روش عمومی برای حل این مسایل وجود دارد: 1)استفاده از qsc استاندارد که دارای دقت پایین از مرتبه است و همچنین احتیاج به محاسبات کمتری دارد. بطور دقیقتر نیازمند جواب دستگاه سه قطری در هر گام زمانی هستیم.2) استفاده از qsc بهینه که دارای دقت بالای است و نیازمند جواب 2 دستگاه خطی سه قطری و یا یک دستگاه خطی پنج قطری در هر گام زمانی است. اما می توان با استفاده از تکنیک جدید روشی را بدست آورد که مزیت هر دو روش را ترکیب می کند: یعنی هم دارای دقت بالای از مرتبه باشد و هم مانند روش qsc استاندارد به محاسبات کمتری نیازمند باشد. این روش rosc-cn نامیده می شود. همچنین می توان این روش را به شبکه بندی نامنظم گسترش داد. ابتدا اسپلاین هم مکانی بهینه را در شبکه بندی نامنظم برای حل معادلات خطی یک بعدی مرتبه دو با شرایط مرزی (bvps) در نظر می گیریم. که این مسایل دارای جوابهایی است که در ناحیه هایی مانند لایه های مرزی با تغییرات بسیار مواجه است. qsc بهینه درشبکه بندی نامنظم بدین صورت گسترش می یابد که توسط تابع نگاشت از شبکه بندی منظم به شبکه بندی نامنظم تبدیل می شود.