این پایان نامه در سه فصل تهیه شده است. در فصل اول به بیان پاره ای از تعاریف و مقدمات خواهیم پرداخت که در فصل های آتی مورد استفاده هستند. در فصل دوم، برخی شرایط لازم برای ابردوری بودن تابع f (t) مورد بررسی قرار می گیرد. به عنوان نمونه ثابت می شود که اگر t: x -x یک عملگر خطی، کران دار و پوشا بوده و f تابعی تحلیلی و غیر ثابت در یک همسایگی از t ( ? باشد که ، و در چگال باشد آنگاه ابردوری است. همچنین خواهیم دید که اگر یک عملگر خطی، کران دار و پوشا باشد که و ، آنگاه برای هر تابع تحلیلی و غیر ثابت مانند در همسایگی از ، عملگر فرا دوری است. هرزوگ و اشموگر شرایطی را ارایه دادند که حد عملگرهای فرادوری یا ابردوری روی باشد. تی. میلر و وی. میلر با استفاده از نظریه طیف موضعی توانستند شرایط معادل محک ابردوری را بیان و اثبات کنند. ما در فصل سوم قصد داریم بدون استفاده از نظریه طیف موضعی و به کمک خواص مجموعه حلال کاتو برای یک عملگر، شرایط لازم برای ابردوری بودن را بیان کرده و اثبات نماییم.