در این مقاله می خواهیم با روشهای پیدا کردن تانسور پواسون سازگاربا تانسورکانونیک روی دوگان جبر لی so*(4) آشنا شویم. ساختارهای پواسون درجه دوم روی so*(4) و e*(3) طبقه بندی شده اند، که هر کدام دارای برگ بندی با برگهای سیمپلیکتیک به عنوان تانسورهای لی پواسون کانونیکال هستند. متغیرهای تفکیک پذیر برای برخی ازسیستم های دوانتگرالی متناظرساخته شده اند.

هدف ما بررسی کاملی از براکت های لی-پواسون سازگار با براکت های کانونی روی منیفلدهایe*(3) و so*(4) است. نشان میدهیم که این براکت های خطی میتوانند برای ساختارهای پیچیده تری مورد استفاده قرار گیرند و در تناظر با نوع کلاسیک آن باشند. منیفلد هموار m مجهز به یک جفت براکت پواسون {.,.} و {.,.}’ یا معادلا یک جفت تانسورهای پواسون سازگار p و p’ را منیفلد دو-هامیلتونین گویند. فرض کنیم m یک منیفلد هموار دو-هامیلتونین با تانسورهای پواسون سازگار p و p’ باشد و فرض کنیمh_0,h_1,…, h_n توابعی روی m باشند به طوری که بطور تابعی مستقل ونسبت به کروشه های پواسون سازگار باشند یعنی h_i,h_k}=0 } در این صورت اگر انتگرال گیری به مفهوم لیوویل برقرار باشد، در این صورت به چنین سیستم هایی دو-انتگرال پذیر یا سیستمهای دو-هامیلتونین تعمیم یافته گویند و به h_iها انتگرال های حرکت گوییم همچنین برای اینکه انتگرال های حرکت یعنی h_iها سازگار باشند کافی است میدان های برداری متناظر با آنها یعنی xh_i سازگار باشند. در این حالت انتگرال های حرکت تشکیل زنجیری به نام lenard-magri میدهند و در روابط زیر صدق می کنند: pdh_0=0 , xh_i=pdh_i=p’dh_(i-1) , p’dh_n=0 که می توان این روابط را توسط معادله زیر نیز نشان داد: p_?dh(?)=0 , ??r که در آن p_?=p+?p’ را دسته پواسون و تابع h(?)که به صورت h(?)=h_n ?^n+...+h_1?+h_0 را تابع casimir چندجمله ای با دسته پواسون p_? گوییم. در اینجا هدف ما پیدا کردن p_?ها برای جبرلی-های e(3) و so(4) است.