در این پایان نامه، پس از معرفی مفاهیم مورد نیاز در فصل اول، معروف ترین تعاریف مشتق های کسری‏، یعنی‏، تعریف مشتق کسری گرونوالد- لتنیکوف، ریمان-لیوویل و کاپوتو را در فصل دوم مطرح می کنیم و سپس در پایان این فصل تبدیل لاپلاس معادلات دیفرانسیل کسری را ارائه می نماییم‏، که نقش مهمی را در فصل آخر دارد. در فصل سوم، کلاسی از معادلات دیفرانسیل کسری تاخیری خطی را در نظر می گیریم. همچنین، قضیه وجود و یکتایی و قضیه ای را نیز در مورد ناپیوستگی های مشتق ارائه می دهیم. به علاوه، وابستگی جواب روی پارامترهای معادله را مطرح کرده و در پایان با روش های عددی به حل چند مثال می پردازیم . در فصل چهارم، چندین روش آنالیزی و عددی برای تحلیل پایداری معادلات دیفرانسیل کسری تاخیری خطی ارائه شده است. که البته توجه اصلی روی پایداری مجانبی است‏، اما پایداری (‎ (biboنیز مطرح می شود. علاوه بر این‏، کاربرد تبدیل لاپلاس برای پایداری مجانبی، توام با معادله مشخصه متشابه، که کاملا در تحلیل پایداری (‎ (bibo استفاده می شود را بررسی می کنیم.