فرض کنید g = (v,e) یک گراف ساده باشد. مجموعه ی s? v را اتحاد تهاجمی گوییم، هرگاه برای هر راس در s n(s) ? داشته باشیم |n[v] ?s|?|n[v]?s|. همچنین s را یک اتحاد تهاجمی فراگیر گوییم، هرگاه شرط فوق برای هر راس در v ?s برقرار باشد. یافتن یک اتحاد تهاجمی فراگیر در گراف، یک مساله ی np-سخت است. بنابراین برای به دست آوردن پارامترهای اتحاد تهاجمی فراگیر یعنی ?_o (g) و ?_o ? (g)، نیاز داریم تا کرانهایی برحسب پارامترهای گوناگون گراف از جمله تعداد راس ها، تعداد یالها، عدد استقلال، عدد احاطه گری، شعاع طیفی لاپلاسین و ... داشته باشیم. به دست آوردن این کرانها و بهبود کرانهای اولیه، هدف اصلی فصل دوم، سوم و چهارم است. فصل نهایی این پایان نامه، به مفهومی تحت عنوان مونوپولی اختصاص می یابد. مجموعه ی d? v را مونوپولی گوییم، هرگاه هر راس v ?d v ?، حداقل deg?(v)?2 همسایه در d داشته باشد. همچنین مجموعه ی d را مونوپولی اکید گوییم هرگاه d یک مونوپولی باشد و به علاوه، هر راس زوج در v ?d حداقل ((deg?(v)+1))?2 همسایه در d داشته باشد. مونوپولی اکید، همان اتحاد تهاجمی فراگیر است. همچنین ثابت می کنیم مطالعه ی مونوپولی اکید در گراف ها، به راحتی به مطالعه ی مونوپولی در گراف ها کاهش می یابد. در سایر بخش های این فصل، کرانهایی برای مونوپولی اکید برحسب عدد تطابق و اندازه ی کمر گراف ارائه می دهیم.