در این پایان نامه با استفاده از معادلات با مشتقات ‏جزئی به بررسی مسائل کنترل بهینه و حساب تغییرات می پردازیم. از جمله این معادلات که ارتباط بین مسائل کنترل بهینه و حساب تغییرات را نشان می دهد‏، معادله هامیلتون - ژاکوبی می باشد. معادله هامیلتون - ژاکوبی در مسائلی مانند پردازش تصویر‏، مسائل بهینه سازی ‏و پدیده هایی که یک منحنی یا یک سطح در طول زمان منتشر می شوند‏، مانند مدل کردن پیشروی آتش سوزی در جنگل, کاربرد دارد.‎ ‎ ‏در فصل اول‏، کاربرد و روش های حل معادلات دیفرانسیل جزئی‏، قضایا‏، مفاهیم اولیه و شرایطی مانند محدب بودن که در کمینه سازی تابعک ها کاربرد دارد را بیان می کنیم. در فصل دوم‏، روش مشخصه برای حل یک معادله غیر خطی مرتبه اول شرح داده می شود. تبدیل لژاندار و فرمول هاپف-لاکس که جواب مسئله حساب تغییرات بوده به تفصیل بررسی می شوند.‎ ‎‎‎ ‏در فصل سوم‏، ویژگی های مسیرهای کمینه در مسائل حساب تغییرات را شرح می دهیم و نشان می دهیم که مسیرهای کمینه ساز در یک دستگاه معادلات معمولی صدق می کنند. این دستگاه معادلات‏، معادله اویلر-لاگرانژ برای مسیرهای کمینه می باشد. در فصل چهارم نظیر این مسیرهای کمینه‏، کنترل بهینه را معرفی کرده و در ادامه دو روش سیستماتیک برای حل مسئله کنترل ارائه می دهیم و به ارتباط میان تابع ارزش و معادله هامیلتون - ژاکوبی می پردازیم.‎ ‎ در فصل پنجم، به تشریح جواب های ویسکوزیته می پردازیم و نشان می دهیم تابع ارزش بدست آمده از مسئله کنترل یک نوع جواب ویسکوزیته برای معادله هامیلتون - ژاکوبی می باشد. ‏در آخر روش های عددی برای حل معادله هامیلتون - ژاکوبی ‏و یک ‏حالت خاص آن یعنی معادله ی ایکونال را ارائه می دهیم.