در این پایان نامه بعد از بیان مقدمات و ارائه ی مفاهیمی، ضرب داخلی برداری مقدار را ابتدا روی توابع مربع انتگرال پذیر روی اعداد حقیقی به میدان اسکالر تعریف و برخی ویژگی های آن را بررسی می کنیم، سپس ضرب داخلی برداری مقدار را برای فضای برداری توابع مربع انتگرال‎‎‎ پذیر روی گروه های توپولوژیک به طور موضعی فشرده تعریف می کنیم و به بیان برخی ویژگی های این فضای برداری با توجه به این ضرب داخلی برداری مقدار می پردازیم و در ادامه به بیان مفاهیم قاب و دوگان قاب و پایه های متعامد یکه با ویژگی این ضرب داخلی برداری مقدار و مشخص سازی توابع مربع انتگرال پذیر، با توجه به قاب ها با ویژگی این ضرب داخلی جدید می پردازیم.