دراین‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎ تحقیق‏، ‎r ‏یک حلقه جابه جایی ‏است . همچنین ‎‎‎‎z(r)‎‎‏ ‎‎مجموعه مقسوم علیه های صفر ‎‎‎‎r‎‎‏ و ‎‎‎u(r)‎‎ ‏‏ مجموعه عناصر وارون پذیر ‎‎‎‎r‎‎‏‏ و ‎‎‎‎nil(r)‎‎‏ مجموعه عناصر پوچتوان ‎‎‎‎r‎‎‏ می باشند.‏ ‏‎ ‎‎ در فصل ? نشان می دهیم که گراف مقسوم علیه صفر از یک حلقه‏، همبند است. ‎‎‎‎‎ در فصل ? ‏نشان می دهیم که ‎‎‎‎‎gamma‎(r)‎‎‏ به طور منحصربه فرد متمم شده است اگروتنهااگر ‎‎‎‎r‎‏ کاهشی نباشد و ‎gamma‎‎(r)‎‎‏ ‎‏یک گراف ستاره باشد یا ‎‎‎‎r‎‎‏ کاهشی باشد و ‎‎t‎‎(r)‎‏ ‎‏منظم فون نویمان باشد‎‏.‎ ‎ در فصل ? نشان می دهیم که اگر ‎r‎‎‏ یک حلقه بول باشد آنگاه اتم های ‎‎‎‎b(r)‎‎‏ دقیقا عناصر ‎‎‎‎v(gamma(r))‎‎‏ هستند که مجاور به رأس انتهایی می باشند. همچنین نشان می دهیم که هر رأس از گراف مقسوم علیه صفر یک حلقه بول (که با ‎ z_2‎‏ ایزومورف نیست) دارای یک متمم منحصربه فرد ا‎‎‎‎‎‎ست . ‎‎ در فصل ? به معرفی ‎‎عناصری از ‎‎‎‎q(r)‎‏ می پردازیم که ‏عضو ‎‎‎‎r‎‎‏ نیستند هرگاه ‎‎‎‎r‎‎‏ یک حلقه بول باشد که به طورگویا کامل نیست. همچنین نشان می دهیم یک حلقه به طورگویا کامل و کاهشی‏ دارای این ویژگی است که‎‎ هر ایده آل i‎‏ ‎‏ شامل یک عنصر با متمم هایی در ‎gamma‎(r)‎‎‏ است که ‎‎‎‎i‎‏ را صفر می کند و این شرط کافی است برای این که هر حلقه بول‏‏، به طورگویا کامل باشد.‎ ‎ در فصل ? ‎‎مشاهده می کنیم که گراف مقسوم علیه صفر دارای یک زیرگراف کامل است که هر رأس آن به ‏یک رأس انتهایی مجاور است. همچنین یک لیست از حلقه هایی که گراف مقسوم علیه صفر آن ها دارای این ویژگی است که هر رأس یک رأس انتهایی است یا مجاور به رأس انتهایی است‏، ‎‏ارائه می دهیم.