در این پایان نامه می خواهیم تاثیر تابع وزن و ضریب وزنی را در تعداد جوابهای مثبت معادلات بیضوی نیم خطی که شامل بخش های غیر خطی محدب و مقعر در r^n می باشند، مورد بررسی قرار دهیم. این پایان نامه شامل پنج فصل می باشد. درفصل اول برخی ازقضایا و مفاهیم و تعاریف مورد نیاز را ارائه می کنیم. فصل دوم شامل چهار بخش می باشد. در این فصل تاثیر ضریب (ƒ(z که یک تابع بحرانی غیر خطی می باشد را در تعداد جوابهای مثبت معادلات بیضوی نیم خطی که شامل محدب و مقعر غیر خطی در r^n را مورد بررسی قرار می دهیم. برای‎‎?‎ > ‎0‎ ‎‎ ‎های بزرگ حداقل ‎ ‎k+1‎ ‎جواب مثبت ‎‎‎ وجود دارد. در بخش اول ابتدا یک نمونه از معادله بیضوی نیم خطی که شامل محدب و مقعر غیر خطی در r^n ‎ ‎می باشد، را ‎ارائه می کنیم. ‎سپس شرایط مسأله را بیان نموده و تابعک اویلر معادله را محاسبه می نماییم. در بخش دو با استفاده از روش خمینه نهاری‎ ‎‎‎ m_? را به دو بخش ? m?_?^+‎و m_?^- تقسیم می کنیم. در بخش سه وجود یک جواب مثبت حالت پایه در ‎‎? m?_?^+را‎‎ اثبات می کنیم. و در بخش چهارم وجود حداقل k نقطه بحرانی در m_?^- را نشان می دهیم. ‎‎‎‎ در فصل سوم تاثیر توابع وزن و ضرایب وزنی را در وجود و چندگانگی جواب معادله بیضوی نیم خطی مورد بررسی قرار می دهیم.‎ در فصل چهارم وجود حداقل یک جواب حالت پایه مثبت را برای حالتی که معادله بیضوی نیم خطی دارای دو ضریب وزنی می باشد مورد ارزیابی قرار می دهیم. ‎ درفصل پنجم وجود حداقل چهار جواب مثبت برای(?u+u=ƒ(z)?^(p-1) ?+ ?h(z)??^(q-1- را در r^n بررسی می کنیم. کلمات کلیدی : معادلات بیضوی نیم خطی‎،‎ محدب و مقعر‎،‎ جواب‎ حالت پایه، فضای هیلبرت‎،‎‎‎‎‎خمینه نهاری‎،‎ پالایس اسمایل .