ما از تناظر بین ابرگراف ها و ایده آل های یالی متناظرشان برای بررسی تحلیل آزاد مینیمال مدرج ایده آل های تک جمله ای خالی از مربع استفاده می کنیم. موضوع اصلی این پایان نامه فهمیدن این مطلب است که چگونه ساختار ترکیبیاتی یک ابرگراف h با تحلیل آزاد مینیمال ایده آل یالی اش که با i(h) نشان داده می شود مرتبط است و چه زمانی از فرمول های استقرایی برای محاسبه اعداد بتی مدرج i(h) بر حسب زیرابرگراف ها یش می تواند استفاده شود. دسته ای از ابرگراف ها را مطالعه می کنیم که آنها را به طور کامل همبند می نامیم که به طور طبیعی گراف های ساده را از این دیدگاه که فاصله های بین یال های مجاور خوش رفتار هستند، تعمیم می بخشد. برای چنین ابرگراف h (و برای هر گراف ساده) یک کران پایین برای نظم کاستلنوو-مامفورد ایده آل i(h) به وسیله ی اطلاعات ترکیبیاتی که h را توصیف می کنند ارائه می شود و یک کران بالا برای نظم کاستلنوو-مامفورد زمانی که h=g یک گراف ساده است، تعیین می شود. همچنین ابرگراف مثلثی شده را که یک ابرگراف به طور کامل همبند است و تعمیم گراف های وتری است را مطالعه می کنیم. وقتی h یک ابرگراف مثلثی شده است، به طور دقیق نظم i(h) محاسبه می شود و نشان داده می شود که اعداد بتی مدرج i(h) مستقل از میدان زمینه هستند. به عنوان یک نتیجه، بسیاری از نتایج شناخته شده در مورد اعداد بتی مدرج ایده آل یالی جنگل ها می توانند به گراف های وتری توسعه یابند.