میدان های برداری که شار آنها در هر نقطه طولپایی باشد دارای اهمیت بسیاری است و کاربرد های فراوانی در ریاضیات و فیزیک دارد. چنین میدان های برداری به افتخار ریاضیدان آلمانی، ویلهلم کیلینگ (wilhelm karl joseph killing (1847-1923) )، میدان برداری کیلینگ نامند. میدان های برداری کیلینگ (به ویژه با طول ثابت) در مرجع های زیادی مطالعه شده است، همچنین هندسه خمینه های ریمانی که میدان برداری کیلینگ می پذیرند، به طور گسترده بررسی شده است میدان های برداری کیلینگ با طول ثابت به طور طبیعی در برخی ساختارهای هندسی مانند خمینه های k- سایا و خمینه های ساساکی ظاهر می شود. مانع های زیادی برای وجود میدان های برداری کیلینگ با طول ثابت بر یک خمینه ریمانی وجود دارد، از جمله اینکه با وجود میدان های برداری کیلینگ نا بدیهی بر خمینه ریمانی ، خمیدگی ریچی منفی نمی تواند باشد. این پایان نامه که مرجع های ‎[9]و ‎[2] را تشریح می کند به بررسی ویژگی ها و کاربردهای میدان های برداری کیلینگ می پردازد و دارای سه فصل است. فصل اول به بیان پیش نیازها می پردازد، از جمله معرفی خمینه های همدیس تخت، میدانهای برداری کیلینگ، خمینه های سایا، k-سایا و ساساکی. فصل دوم به تشریح مرجع ‎[9] می پردازد، در این فصل برخی محدودت های خمیدگی بر خمینه های دارای میدان برداری کیلینگ بررسی می شود. ابتدا ثابت می شود اگر یک میدان برداری کیلینگ یکه بر خمینه ریمانی کامل و یک نقطه بحرانی نگاشت باشد، خمیدگی برشی بر صفحه های شامل بردار نا منفی است. و با بهره بردن آن نتیجه می شود خمینه ریمانی کامل با خمیدگی ریچی منفی، میدان برداری کیلینگ نا بدیهی ندارد. همچنین ثابت می شود هر میدان برداری کیلینگ بر یک خمینه ریمانی کامل فشرده ی زوج بعدی با خمیدگی برشی مثبت دارای نقطه تکین است.در ادامه با آوردن قضیه ای از "ودسلی" ، ثابت می شود اگر یک عمل هموار، موثر و تقریباً آزاد بر خمینه کامل ریمانی داده شده باشد، بر می توان متریکی چون گذاشت که بر یک میدان برداری کیلینگ یکه وجود داشته باشد. پس از آن مثال های از خمینه هایی را که با این روش می توان به یک میدان برداری کیلینگ یکه مجهز کرد بیان می شود، مانند کره های فرد بعدی. فصل سوم به تشریح مرجع ‎[2] می پردازد. در این فصل با بهره بردن از وجود یک میدان برداری کیلینگ با برخی ویژگی ها بر یک خمینه ریمانی، شرط های کافی برای اینکه آن خمینه با کره فرد بعدی یا یک خمینه اینشتین طولپا باشد را ارائه می شود. در بخش اول این فصل ثابت می شود هر خمینه کامل، همدیس تخت، ساده همبند با خمیدگی برشی مثبت که یک میدان برداری کیلینگ ناصفر با طول ثابت بر آن موجود باشد که بردار ویژه عملگر ریچی باشد، با یک کره فرد بعدی طولپاست. در بخش دوم ثابت می-شود وجود یک میدان برداری برداری کیلینگ با طول ثابت بر یک خمینه ریمانی با تانسور ریچی موازی که خمیدگی برشی تنها بر صفحه های شامل آن میدان برداری کیلینگ مثبت باشد، یک خمینه اینشتین را بدست می دهد. سرانجام شرطی بیان می شود که با آن یک خمینه ریمانی کامل که بر آن یک میدان برداری کیلینگ باشد، با فضای اقلیدسی طولپا می شود.