از راههای مختلف می توان گرافی را به یک گروه مرتبط کرد. قسمت عمده این پایان نامه را به تعریف گراف r(g و ارتباط آن با گروههایی که موضعا دوری نیستند اختصاص داده ایم. که این گرافها را گرافهای نادوری می نامند. ما خصوصیات این گراف را بررسی کرده و به مطالعه این مطلب می پردازیم که خواص مربوط به گرافها، چه خاصیتی در گروهها را موجب می شود. همچنین به بررسی گروههایی با گراف نادوری یکریخت می پردازیم. و برخی از خواص گروه را که با یکریختی گرافهای نادوری دو گروه از یکی به دیگری به ارث می رسد مورد مطالعه قرار می دهیم. همچنین گروههایی را ارایه می دهیم که توسط گراف نادوری شناسایی پذیرند. در انتها به این حدس می رسیم که اگر g گروهی ساده و غیر آبلی باشد و h گروهی باشد که گراف نادوری آن با گراف نادوری g یکریخت باشد، آنگاه h~g بخشهای بعدی پایان نامه به گرافهای ناجابجایی اختصاص داده شده است. از مقالاتی که در مورد گرافهای ناجابجایی نوشته شده حدسی به جا مانده که می گوید اگر g گروهی ساده و غیر آبلی باشد و h گروهی باشد که گراف ناجابجایی آن با گراف ناجابجایی g یکریخت است. در این صورت h=g ما در فصل انتهایی این پایان نامه با استفاده از مقاله ایی که اخیرا پذیرش گرفته به بررسی این حدس در مورد گروه a10 می پردازیم. و ثابت می کنیم که حکم فوق در مورد این گروه صادق است. تاکنون این حدس برای هیچ گروه غیر ساده ایی ثابت نشده است ما در فصل انتهایی این پایان نامه دو حدس فوق را برای pgl(2,q ) به رغم اینکه این گروه غیر ساده است بررسی می کنیم و ثابت می کنیم این گروه توسط گراف ناجابجایی، گر اف نادوری و همچنین مجموعه مرتبه مولفه هایش شناسایی پذیر است. این نتایج به صورت مقاله ایی با عنوان "some new characterizations for pgl(2,q" توسی آقای دکتر بهروز خسروی و خانم مریم خاتمی و نگارنده این پایان نامه تدوین و برای داوری به یکی از مجلات ارسال شده است.